CIRCUNFERENCIA PROPIEDADES DE TANGENCIA PROBLEMAS RESUELTOS EN GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA

PREGUNTA 1 : 

En un triángulo rectángulo, calcule la longitud de la hipotenusa, si el radio de la circunferencia inscrita mide 5 y el radio de la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa mide 14 . 

a) 5 

b) 7 

c) 6 

d) 8 

e) 9 

PREGUNTA 2 : 

El perímetro de un triángulo rectángulo es 24 y su hipotenusa mide 10 . Calcule el radio de la circunferencia inscrita. 

a) 1 

b) 2 

c) 3 

d) 4 

e) 5 

PREGUNTA 3 : 

Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 15 y la distancia del baricentro al ortocentro es 25/3 . La altura relativa a la hipotenusa en cm mide : 

a) 13 

b) 14 

c) 16 

d) 12 

e) 15

TEOREMA FUNDAMENTAL Toda recta que tiene un punto A interior a una circunferencia tiene dos puntos comunes con el/a. Sea la circunferencia y A un punto interior siendo P P A B o el pie de la perpendicular trazada por el centro él la recta r El punto P determina dos semirrectas y llamemos SI al conjunto de puntos interiores a la circunferencia y S2 al conjunto de puntos no Interiores a la circunferencia. Se verifica que. 1) En cada semirrecta hay puntos de SI y puntos de S2 pues basta ver que A por hipótesis pertenece a SI y que cualquier punto B que cumpla la condición PB > r está en S2 con lo que OB > PB > r. 2) Todo punto de la semirrecta es interior o no interior, no cabe otra posibilidad. www.Matematica1.com 3) En el sentido definido en cada una de las semirrectas (partiendo de P) todo punto de SI precede a todo punto de S2. es decir todo punto interior precede a un punto no interior. Estas tres condiciones son las correspondientes al Axioma de Dedekind que dice" "Dada una clasificación de los puntos de una recta en dos clases SI y S2 que cumpla las condiciones 1) Existen puntos de la recta en una y otra clase. 2) Todo punto de la recta está en una u otra clase. 3) Todo punto de 51 precede a todo punto de 52, existe un punto y sólo uno P de la recta, tal que todos los puntos que le preceden pertenecen a la clase 51 y todos los que le siguen pertenecen a la clase S2' El punto P recibe el nombre de frontera de las dos clases». Este punto P puede ser el último de la clase 51 o el primero de la clase 52' Como se verifican los tres puntos del Axioma existe en cada semirrecta un punto y s6lo uno tal que todo punto que le precede en la semirrecta corresponde al conjunto 51 y todo punto que le sigue pertenece a 52 Este punto M pertenece a la circunferencia, luego OM - r, ya que en caso contrario si OM > r en virtud el teorema anterior otro punto precedente pertenecería a 52 y si OM < r otro siguiente de 51 con lo que contradice el axioma. 2. Posiciones relativas de dos circunferencias Sean dos circunferencias C y e 1 de centros O y O 1 Y de radios r y r 1 • Comparando la distancia d entre los centros con la suma y diferencia de los radios r y r ' supuestos r > r' se pueden presentar los siguientes casos: 1) Circunferencias exteriores: Cuando todos los puntos de la primera circunferencia e son exteriores a la segunda e I y todos los puntos de la segunda e' son exteriores a la primera e d C 71-0' d > r + r ' '--~/ C' www.Matematica1.com 2) Circunferencias interiores: Una circunferencia e 1 es interior a otra e cuando todos los puntos de la primera son interiores a la segunda e C' d < r + r ' , El radio de la circunferencia interior siempre es menor que el radio de la circunferencia exterior: r ' < r. 3) Circunferencias tangentes exteriores: Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando son exteriores y tienen un punto común e d d r + r ' o r' O' 4) Circunferencias tangentes interiores: Dos circunferencias son tangentes interiores cuando una- es interior a la otra y tienen un punto común e d d =: r - r ' El radio de la circunferencia tangente interior siempre es menor que el radio de la circunferencia exterior: r ' < r www.Matematica1.com 5) Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes. p e C' o Hay puntos de la circunferencia e que son interiores a la circunferencia C' . Hay puntos de la circunferencia C' que son interiores a la circuNferencia C . Las dos circunferencias C y C' tienen dos puntos comunes. Observando el triángulo OPO ' de lados r, r ' y d vemos que se cumplen estas dos condiciones d > r - r y d < r + r' ya que un lado de un triángulo es Menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. También lo podemos Indicar , - r ' < d < r + " 6) Circunferencias concéntricos: Dos circunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro