FÓRMULAS DE RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y DEMOSTRACIONES DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
OBJETIVOS :
• Relacionar las longitudes de algunos segmentos establecidos en el triángulo rectángulo.
• Calcular la longitud de algunas líneas notables asociadas al triángulo.
PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UNA RECTA Proyectante 𝐴 𝑃 L 𝐴` 𝑄 𝑀 Eje de proyección 𝐵 𝐿 𝑩′𝑪: Proyección ortogonal de 𝐵𝐶 sobre 𝐴𝐶 𝐵 𝐴′ 𝑨′𝑪: Proyección ortogonal de 𝐴𝐶 sobre 𝐵𝐶 Donde: Proyección Ortogonal 𝐴 𝐵′ 𝐶 𝐴 𝐶 𝐵 A` : Proyección ortogonal del punto A sobre L 𝑷`𝑸`: Proyección ortogonal del segmento 𝑃𝑄 sobre L 𝑴`𝑳 : Proyección ortogonal del segmento 𝑀𝐿 sobre L 𝐴 𝐻 𝑨𝑯 y 𝑯𝑪 : Proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa. 𝐶 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA DEL CÁLCULO DEL CATETO B EJEMPLOS Del gráfico, calcule 𝑥. Resolución 𝑥2 = 8 2 A 𝑚 H 𝑛 C Se cumple: 𝑎2 = 𝑐 𝑚 + 𝑏2 = 𝑐 𝑛 Del gráfico, calcule 𝑦. 𝑥2 = 16 ∴ 𝒙 = 𝟒 2 𝑏2 = 𝑐 𝑛 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 𝑚 + 𝑐 𝑛 Resolución 𝑎 = 𝑐 𝑚 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 𝑚 + 𝑛 (6)2= (2 + 𝑦) 2 Respecto a sus longitudes, el cateto al cuadrado es igual al producto de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto 𝑐 6 ∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Teorema de Pitágoras 36 = (2 + 𝑦)(2) 18 = 2 + 𝑦 ∴ 𝟏𝟔 = 𝒚 Trazamos la cuerda PB ANALICEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO…. 𝑑 Luego, 𝑚∡𝐴𝑃𝐵 = 90° B 𝑑 Siempre se cumplirá: 𝑥2 = (𝑑)(𝑚) A B 𝑑 𝑑 ⊿𝐴𝑃𝐵: Por cálculo del cateto: 𝑥2 = (𝑑)(𝑚) TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA ALTURA EJEMPLOS Del gráfico, calcule 𝑥. Resolución ¿Y cómo utilizamos este teorema...? 𝑥 32 (2𝑥)2= 𝑥 32 4𝑥2 = 32𝑥 4𝑥 = 32 ∴ 𝒙 = 𝟖 Se cumple: ℎ2 = 𝑚 𝑛 Del gráfico, calcule 𝑦. Resolución (6)2= 𝑦 4 36 = 𝑦(4) Respecto a sus longitudes, la altura al cuadrado es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos 36 4 = 𝑦 ∴ 𝟗 = 𝒚 TEOREMA DEL PRODUCTO DE CATETOS 𝑎 𝑏 ℎ Se cumple: (𝑎)(𝑏) = 𝑐 ℎ Según el gráfico, si 𝑎 𝑐 = 12. Calcule 𝑥. 3𝑥 TEOREMA DE LA INVERSA 1 + 𝑏2 Resolución: • Trazamos BQ y aplicamos el teorema de la bisectriz. • Por Producto de catetos: 𝑎 𝑐 = 3𝑥 𝑥 12 = 3𝑥2 4 = 𝑥2 ∴ 𝟐 = 𝒙 Q 3𝑥 Por teorema de Pitágoras 𝑅 − 𝑟 2 + 𝑥2 = 𝑅 + 𝑟 2 𝑥2 = 𝑥2 = 4𝑅𝑟 𝑇 𝑃 ∴ 𝑥 = 2 𝑅 ∙ 𝑟 CONCLUSIÓN…. 𝑇 𝑥 𝑃 𝑇, 𝑃 𝑦 𝑄 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑇 𝑃 Se cumple: 𝑥 = 2