SEGMENTOS PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA BÁSICA pdf
SEGMENTO DE RECTA :
Es una porción de línea recta que tiene por extremos a dos puntos y su medida se expresa en unidades de longitud.
SEMIRRECTA :
Una Semirrecta es cada una de las dos partes en las que se divide una Recta al ser cortada en alguno de sus puntos.
Sea una recta cualquiera y sobre ella tomamos un punto ‘‘O’’ entre A y B
El punto ‘‘O’’ divide al recta en dos Subconjuntos de puntos, cada subconjunto es una semirrecta de origen ‘‘O’’
Una semirrecta no contiene al origen.
RAYO:
Rayo es una figura formada por una semirrecta y su punto de origen.
FORMA : Es la manera de estar limitada la figura.
TAMAÑO :
De un sólido se mide por su volumen, el de una superficie por su área, y el de una línea por su longitud.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA
Son el punto , la recta y el plano , no tienen definición, sólo se pueden representar mediante ideas.
El punto :
Es un concepto imaginario, tiene posición.
No tiene dimensión.
* Tiene ubicación, no tiene longitud : Anchura o grosor.
* Lo idealizamos al cortarse dos rectas
* Un punto dibujado a diferencia de un punto conceptual , tiene tamaño. La idea física de posición nos sugiere la idea matemática de punto; así un vértice de una caja rectangular o el centro de la Tierra, nos da la noción de punto. También la idea de punto está gráficamente asociada con la marca que en una hoja de papel hace la punta de un lápiz muy afilado. Un punto se representa por medio de una marquita redonda o un aspa, indicado generalmente por una letra mayúscula.
La recta :
Es un concepto imaginario. Tiene dirección. Tiene una dimensión. No se puede medir. Es ilimitada con ambos sentidos. La idea de línea recta está relacionada físicamente con la imagen de un único rayo de luz que se propaga en el aire, con la imagen de un hilo muy delgado, perfectamente tenso y extendido indefinidamente en ambos sentidos. Una recta se representa por medio de dos letras mayúsculas con el símbolo encima o con una letra. Ejemplo:
LA LÍNEA : * Es un concepto imaginario. * Tiene longitud pero no anchura o grosor . * No se puede medir . * Es ilimitada en ambos sentidos . * Puede ser recta , curva o una combinación de ambas. * La línea recta tiene dirección. Una línea se designa con letras mayúsculas en dos puntos cualesquiera sobre ella o con una letra minúscula. La doble flecha , pone de manifiesto que la línea se extiende indefinidamente en ambos sentidos. Ejemplo :
PUNTOS COLiNEALES : Se llama puntos colineales a aquellos que pertenecen a una misma recta . Si se indica en un orden determinado , se dirá que son consecutivos. A , B , C y D son puntos colineales (están en L) y son consecutivos .
PUNTOS NO COLINEALES : Son aquellos que no están ubicados en una misma línea recta.
FIGURAS GEOMÉTRICAS Una figura geométrica es un conjunto no vacío de puntos. Ejemplos de figuras geométricas planas (todos sus puntos están en el mismo plano). La Geometría Plana estudia las figuras planas . Ejemplos de figuras geométricas sólidas o del espacio (todos sus puntos no están en el mismo plano). La Geometría del Espacio se ocupa del estudio de las figuras geométricas del espacio. Clasificación : Las figuras geométricas se clasifican en: A) Figuras congruentes : Si tienen igual forma e igual tamaño (medidas respectivamente iguales). Ejemplo: Dos cuadrados con igual longitud de lado. b) Figuras semejantes : Si tienen igual forma, pero distinto tamaño (medidas respectivamente proporcionales). diferente longitud. c) Figuras equivalentes : Si tienen igual área (figuras planas) e igual volumen (figuras sólidas). Ejemplo: Un cuadrado y un círculo de igual área. Un cilindro y una esfera de igual volumen.
ESPACIO GEOMÉTRICO
Las figuras geométricas ocupan cierto lugar. Es de admitir que existe un conjunto universo (una caja infinitamente grande) en donde se encuentra todos los puntos, todas las figuras geométricas , cualquiera sea orientación , ubicación , tamaño. A este conjunto se le denomina espacio geométrico.
TeRMInOS MATEMÁTICOS
Proposición : Es un enunciado que tiene valor de verdad. Axioma : Es una proposición evidente que no necesita demostración. ejemplos: * El todo es igual a la suma de sus partes. * El todo es mayor que cada una de sus partes. * « dos puntos cualesquiera , determinan una única línea recta » Postulado : Es una proposición que se admite sin demostración. aunque no tiene la evidencia del axioma. ejemplo: El Postulado de Euclides: «Por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a dicha recta». Las geometrías no-euclideanas negaron este postulado. Teorema : Es una proposición que para ser evidente, necesita una demostración. ejemplo: «La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos». Corolario : Es un teorema, es una secuencia de un teorema ya demostrado. ejemplo: «La suma de las medidas de los ángulos internos agudos de un triángulo rectángulo es igual a un ángulo recto». Lema : Es un teorema preliminar que sirve de base para la demostración de otras proposiciones. Escolio : Es una advertencia u observación que se hace a un teorema. con el fin de aclarar o restringir proposiciones anteriores. Problema : Enunciado en el cual se plantea hallar una cantidad desconocida o construir alguna figura, según las condiciones dadas (datos). NOTACIÓN : Es la presentación o simbolización de una figura o elemento geométrico. Línea recta : Todos sus puntos siguen una misma dirección. Línea curva : Es una sucesión de puntos en la que no tiene 3 puntos consecutivos que sigan la misma dirección. Línea mixta : Está formada por porciones de línea recta y porciones de línea curva. Línea quebrada : Está formada por porciones de línea recta no alineados que se encuentran unos a continuación de otros. La Línea recta se define el camino más corto entre dos puntos. Es poco frecuente en la naturaleza, donde predominan las líneas curvas (el universo en su totalidad es curvo), pero muy abundante en el entorno humano, que necesita de ellas para dar estabilidad a sus creaciones. La línea recta horizontal expresa equilibrio, calma, equilibrio estable. No hay estabilidad sin una línea recta horizontal de referencia, una línea de horizonte, ya que nos movemos en un plano horizontal. La Línea curva Es la línea más libre y la más dinámica de todas, pudiendo sugerir desde un movimiento perfectamente definido hasta un movimiento caótico, sin reglas. AXIOMAS PARA LA RECTA Toda recta contiene por lo menos dos puntos. Existen por lo menos tres puntos no colineales. Por dos puntos distintos pasa una sola recta. PRIMEROS TEOREMAS Si dos rectas diferentes se intersecan, entonces su intersección es exactamente un punto. Existen por lo menos tres rectas en un plano. POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL PLANO Rectas secantes : Dos rectas que tienen un solo punto común se denominan rectas secantes; el punto común es el punto de intersección. Las rectas L1 y L2 son rectas secantes y se intersecan en A. Rectas paralelas : Dos rectas son paralelas, si : i) son coplanares. ii) no tienen ningún punto común. Postulado de la paralela : (Postulado de EucIides),«Por un punto exterior a una recta, pasa solamente una recta paralela a la recta dada». Rectas coincidentes : Si tienen dos puntos comunes. SEPARACIÓN DEL PLANO El plano es separado por una Recta en dos diferentes subconjuntos de puntos llamados Semiplanos. SEPARACIÓN DE LA RECTA La recta es separado por un punto O en dos diferentes subconjuntos de puntos llamados Semirrectas y se simboliza y . La semirrecta no contiene el punto de origen O. Postulado de la distancia «A cada par diferente de puntos A y B le corresponde un número real positivo, al que denominaremos distancia entre dichos puntos y lo denotaremos por AB (el orden no interesa, esto es, AB = BA)». Postulado de la recta «Para una recta dada existe una correspondencia biunívoca entre ella y los números reales, de manera que la distancia entre dos puntos cualesquiera, es igual al valor absoluto de la diferencia entre sus números correspondientes» . Gráficamente: La distancia entre A y B es: Postulado de la colocación de la recta «Dados dos puntos A y B de una recta, es posible escoger un sistema de coordenadas, de manera que la coordenada de A sea cero y la de B sea positiva». Postulado : Dos puntos distintos determinan una única recta que los contiene. Los puntos A y B definen exactamente a la recta L que los contiene . LA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DE UNA RECTA Sean A, B y C tres puntos distintos de la misma recta, diremos que B está entre A y C sí y sólo sí AB + BC = AC. Donde AB, BC y AC son distancias entre A y B, entre B y C y entre A y C (el postulado de la distancia establece con precisión este concepto). Para denotar la relación: B está entre A y C, escribimos A - B - C. SEGMENTO , RAYO Y SEMIRRECTA SEGMENTO DE RECTA : Es una porción de recta limitado por dos puntos denominados extremos. Se denota por y se lee segmento AB. La medida de un Segmento AB denota por m o AB , es un número positivo que compara la longitud del segmento unitario (u). Sean A y B dos puntos cualesquiera de una recta. Se denomina segmento al conjunto de los puntos: A y B y de todos los puntos que están entre A y B. Usando notación conjuntista: = {A,B} (P/P está entre A y B) A y B son los extremos del segmento. La longitud del segmento es el número AB, que especifica la distancia entre A y B. La distancia de A a B es lo mismo que decir , la medida del segmento AB. LONGITUD DE UN SEGMENTO Expresa el tamaño o medida de un segmento y resulta de la comparación del segmento con otro , que es tomado como unidad (metro) ; por ejemplo: si un segmento contiene 4 veces la unidad (metro) entonces dicho segmento tiene una longitud de 4 m. Si la longitud de un segmento no se conoce , ésta convencionalmente se indicará con una letra latina minúscula. Así , por ejemplo si a es la longitud del segmento AB ; entonces AB=a AB: se lee “longitud del segmento AB” SEGMENTOS CONGRUENTES Dos segmentos son congruentes , si tiene la misma longitud. Si: AB=CD, entonces dichos segmentos son congruentes y se escribe : La relación de congruencia para segmentos es una relación de equivalencia. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Es aquel punto que pertenece al segmento y que lo divide en dos segmentos parciales de igual longitud. Si: MAB y AM=MB ; entonces M es el punto medio de AB. El punto medio de un segmento se dice que biseca (punto bisector) al segmento. Todo segmento tiene exactamente un punto medio. Si los puntos extremos de tienen coordenadas «x1» y «x2» entonces su punto medio tiene coordenada Rayo : La unión del conjunto que contiene al punto O y una semirrecta se llama RAYO , y se simboliza por y . El punto O se llama punto de origen del rayo. Un rayo se denota siempre escribiendo en primer lugar el origen y luego otro punto de él. Rayos opuestos : Si un punto A está entre B y C se dice que y son dos rayos opuestos. PUNTOS DE TRISECCIÓN DE UN SEGMENTO Son dos puntos que pertenecen al segmento y los divide en tres segmentos de igual longitud. Ejemplo : M y N son puntos de trisección de . Si : AM = MN = NB Puntos colineales : Son puntos por los cuales se puede trazar una línea recta que los contienen. Puntos coplanares : Son puntos que están ubicados en un mismo plano. OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE SEGMENTOS adición DE SEGMENTOS : Para sumar dos segmentos cualesquiera, se toman en una recta dos segmentos consecutivos cualesquiera y congruentes respectivamente a los segmentos que se quiera sumar. sustracción DE SEGMENTOS : Se llama diferencia de dos segmentos a un tercer segmento que sumado con el menor , resulta el segmento mayor. Relación de Segmentos : Si se cumple que : NOTA : La distancia entre dos puntos , es la longitud de segmento que tiene por extremos a dichos puntos. Sean P1 y P2 dos puntos dados : Si : P1P2 = d Luego: d: distancia entre P1 y P2 axioma de orden en la línea recta si los puntos a , b , c son colineales y ab+bc =ac , entonces se dice que b está entre a y c ó b está entre c y a . POSTULADO DE LA DISTANCIA : La distancia más corta entre dos puntos viene a ser el segmento de recta que los une. DIVISIÓN ARMÓNICA Se dice que los puntos colineales y consecutivos A, M, N y B constituyen una «cuaterna armónica», si cumple la siguiente relación: Proporción armónica Los puntos A y B son los conjugados armónicos de M y N. También suele decirse que M y N dividen armónicamente al segmento . A, M, B y N es una cuaterna armónica. M y N dividen armónicamente al segmento . A y B dividen armónicamente al segmento . M y N son conjugados armónicos de A y B. De la proporción armónica se deduce que: BN > MB porque AN > AM , y también se deduce que AM > MB porque AN > BN. En toda división armónica , se cumple las siguientes relaciones : RELACIÓN DE RENE DESCARTES DEMOSTRACIÓN : Haciendo AM = a , AN = b, AB = c Por Hipótesis : Reemplazando : Invertir: Desdoblando: Relación De René Descartes: RELACIÓN DE ISAAC NEWTON Si A, B, C y D constituyen una «cuaterna armónica», y “O” punto medio de BD. Se cumple la siguiente relación : Demostración: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZÓN Dividir un segmento en dos segmentos, de tal manera que la longitud del segmento mayor sea media proporcional entre las longitudes de la parte menor y el total. Si dividimos al segmento AC = a en dos partes AB y BC, tal que AB2= BC×AC. Al segmento mayor se le llama porción áurea del segmento total . PROPIEDAD FUNDAMENTAL Aplicando las propiedades de las proporciones a la relación: Tenemos: Es decir: Invirtiendo: De donde se deduce el teorema siguiente: «Si a un segmento dado le sumamos su porción áurea, se obtiene otro segmento cuya porción áurea es el segmento dado». CÁLCULO DE LA PORCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO