ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
OBJETIVOS :
• Conocer los diferentes teoremas más usuales para calcular el área de una región triangular.
• Identificar los elementos necesarios para poder aplicar los teoremas.
• Reconocer los teoremas para calcular la razón de áreas de dos o más regiones triangulares.
• Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas.
El tema de áreas está asociado con el de relaciones métricas, debido a que ambos temas utilizan la operación producto.
GUIA DE EJERCICIOS
PREGUNTA 1 :
La base y la altura de un triángulo se encuentran en la relación de 1 a 3. Si el área de dicho triángulo es 24 u², calcular la base.
A) 8 u
B) 5
C) 6
D) 4
E) 7
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 2 es a 3. Calcular la hipotenusa, si el área del triángulo es 24 m².
A) √19 u
B) √15
C) 2√26
D) 4√29
E) 7√23
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 :
Hallar el área de un triángulo ABC, si: m∢A = 37°; m∢C = 45° y AC = 28 cm.
a) 168 cm²
b) 146
c) 152
d) 148
e) 172
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 :
Calcular el área de la región de un paralelogramo ABCD, si: m∢A = 45° y la distancia del centro del romboide al lado mayor es 4 u y al lado menor es 6 u.
A) 96√2 u²
B) 7√15
C) 5√26
D) 3√29
E) 2√23
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Calcular el área de un triángulo equilátero, sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita mide 2.
A) 12√3 u²
B) 9√3
C) 8√3
D) 6√3
E) 7√3
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
Se tienen tres circunferencias tangentes exteriormente dos a dos. Hallar el área del triángulo que se forma al unir sus centros, si se sabe que los radios miden 2 ; 3 y 4 cm.
A) 6√6 u²
B) 6√3
C) 7√6
D) 8√3
E) 7√6
Rpta. : "A"
PREGUNTA 7 :
Calcular el área de la región de un triángulo rectángulo si la hipotenusa y su inradio mide 17 y 3 u.
a) 32 u²
b) 24
c) 36
d) 60
e) 40
Rpta. : "D"
- CLIC AQUÍ Ver ÁREAS TRIANGULARES EJERCICIOS RESUELTOS
- Ver RAZÓN DE ÁREAS TRIANGULARES
- Ver ÁREAS CUADRANGULARES
- Ver RAZÓN DE ÁREAS CUADRANGULARES
- Ver ÁREAS CIRCULARES
- Ver ÁREAS SOMBREADAS
- Ver PERÍMETROS
1.
ABC es un triángulo rectángulo. Exteriormente a los catetos se construyen los triángulos equiláteros ABD y BEC. P, Q y R son puntos medios de BE, BC y DC respectivamente. Si el área de la región triangular ABC es 32 cm2, entonces el área de la región triangular PQR (en cm2) es
2.
En un triángulo ABC, AB=BC= 10, se traza la ceviana AN que interseca a la altura BM en P. Si AC= 16 y BN= 2, determine el área de la región triangular APB.
A) 8 u2
B) 7 u2
C) 6 u2
D) 9 u2
E) 10 u2
3.
Se ubica P en el arco AB de la circuferencia circunscrita al hexágono regular ABCDEF, tal que PB= 3 y PD= 7. Halle el área de la región BFP.
A) 7 2
B) 7 3 2
C) 6
D) 2 3
E) 3 3
4.
El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia, además, las circunferencias inscritas en los triángulos ABD y ACD son tangentes a AC en M y N, respectivamente. Si AM= 2, MN= 6 y ND= 3, halle la razón de áreas de las regiones ABD y ACD.
A) 1 2
B) 2 3
C) 3 4
B) 6 7
E) 6 5
5.
En un triángulo ABC, AB= 13, AC= 14 y BC= 15, las prolongaciones de las alturas intersecan a la circunferencia circunscrita en M, N y P (M, N y P pertenecen a la región exterior de AB, BC y AC). Halle la suma de áreas de las regiones ABM, BCN y ACP.
A) 36
B) 84
C) 68
D) 72
E) 144
Áreas de regiones triangulares Fórmula básica Fórmula trigonométrica Área de la región equilátera Fórmula en función del inradio b h A = bh 2 A = bh 2 b h A = bh 2 CÁLCULO DE ÁREAS EN REGIONES TRIANGULARES a α α b h A = ab 2 senα A = ab 2 senα A =p·r A 2 3 = 4 c r a b p= a+b+c 2 Para bases de igual medida Para alturas de igual medida Fórmula de Herón p= a+b+c 2 c a b A = p(p – a)(p – b)(p – c) H h a B a a H H a B a b A b Hh = A b ab = Razón de áreas de regiones triangulares a b b Problemas resueltos 1. En la figura, A, B y C son puntos de tangencia. Sea P un punto del segmento BC tal que PA es tangente común a las circunferencias. Si AP=10 m y AB – AC=4 m, calcule el área del triángulo APB. B P C A UNI 2007 - I Resolución Nos piden A APB=S. Datos B P C A 10 10 b+4 b S S AP= 10; AB – AC=4 Según el teorema BP=PC=PA=10 m BAC= 90° Por relación de áreas de regiones triangulares (AP: mediana) → A APC=S En BAC, por teorema de Pitágoras b2+ (b+ 4)2= (20)2 b=12 Luego, por fórmula básica, tenemos 2 4 2 S = b(b + ) Reemplazamos 2 12 12 4 2 S = ( + ) ∴ S=48 m2