ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES FÓRMULAS Y PROPIEDADES DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf

REGIONES POLIGONALES 

Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión de un triángulo y su interior. 

Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento.

• CLIC AQUÍ Ver ÁREAS TRIANGULARES EJERCICIOS RESUELTOS
• Ver RAZÓN DE ÁREAS TRIANGULARES
• Ver ÁREAS CUADRANGULARES
• Ver RAZÓN DE ÁREAS CUADRANGULARES
• Ver ÁREAS CIRCULARES
• Ver ÁREAS SOMBREADAS
• Ver PERÍMETROS

Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican cómo se podría representar cada una de las dos regiones poligonales mediante tal reunión. 

Las regiones triangulares de cualquier descomposición asi se llaman regiones triangulares componentes de la región poligonal.  Postulados 

- Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región. - El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones componentes en la cual puede dividirse. 

- Si dos polígonos son congruentes, entonces las regiones poligonales correspondientes tienen la misma área. 

A continuación se presentan una serie de fórmulas para calcular el área de diversas regiones triangulares. 

1. El área de toda región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado. Sea: AABC : área de la región triangular ABC. A C B h a ABC A a.h  2  A B C a b ABC A a.b 2   A C h a B ABC A a.h 2   Demostración h A B C a D • Sea A  ABC = A por B y D se trazan paralelas a AD y AB , tal que: ABCD: Paralelogramo. DESARROLLO DEL TEMA Entonces •  ABD   BDC, entonces AABD  ABDC  A Luego A(ABCD) = AABD  ABDC  2A A(ABCD) = 2A ........(1) Por un postulado del área de la región paralelográmica es: A(ABCD) = ah ........ (2) De (1) y (2) 2A = ah A ah 2   2. Fómula trigonométrica El área de una región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de los lados del triángulo multipilicado por el seno de la medida del ángulo comprendido por dichos lados. A B C  b a ABC A a.b sen  2   Demostración a sen A B C  H b a Se traza la altura BH, en ABH. BH = aSen ... (1) Sabemos ABC A (AC)(BH) 2   Reemplazando en (1) obtenemos: ABC A (b)(asen ) 2    ABC A ab Sen 2     C. Otros teoremas Para calcular el área de una región triangular en términos de otros elementos asociados al triángulo. 1. El área de una región triangular es igual al producto del semiperímetro y su inradio. r A C B a b c sea: p: semiperímetro de la región ABC p a b c  2    r: inradio del triángulo ABC AABC  p.r 2. Teorema de Arquímides El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada de los productos del semiperímetro restado de la longitud de cada lado. B A c C a b Sea: P: semiperímetro p a b c 2    AABC  p(p  a)(p  b)(p  c) 3. El área de una región triangular es igual al producto de las longitudes de los tres lados dividido por cuatro veces es circunradio. A c C B b R a ABC A abc  4R  R: Circunradio del triángulo ABC. 4. El área de una región triangular es igual producto del semiperímetro restado en un lado con el exradio relativo a dicho lado. AT: Semiperímetro de ABC AT = P r: exradio relativo a BC  AABC  (p  a)r 5.  B A m T n C Según el gráfico, T es punto de tangencia. Entonces:   A ABC m.nCot  2   II. TEOREMAS PARA RELACIONAR LAS ÁREAS DE DOS REGIONES TRIANGULARES A. Teoremas 1. B A C a N b En la figura BN: Ceviana relativa a AC ABN NBC A a A b    B A C m N m En la figura, BN: Mediana Entonces: AABN ABNC 2. Q b b a a P B C S 3S A En la figura; P y Q: puntos medios Entonces: A APQC=3A PBQ 3. • c c S a a b b P Q A G A A A A A G: Baricentro de la región triangular ABC A A ABC 6   4. m m P • B A C S Q N A B Si BP: Mediana y QBP A, B, N y S: Área de regiones mostradas. Entonces: A  B  S  N 5. Si dos triángulos son semejantes entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los cuadrados de sus líneas homólogas. Si ABC  MNL , entonces: 2 2 ABC 2 MNL 2 2 S AC BH ... k S ML NF     Siendo "k" la razón de semejanza. 6. Si dos triángulos tienen ángulos congruentes o suplementarios, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los productos de las medidas de los lados que forman dichos ángulos. Si: ABC DEF S AB.BC S EF.DF      Si: MNL PQR S MN.NL 180 S PQ.PR        Problema 1 Hallar el área de la región triangular QTC; ABCD es un cuadrado de lado 4 m (T es punto de tangencia). UNI Nivel fácil A) 1,2 m2 B) 1,4 m2 C) 1,5 m2 D) 2 m2 E) 2,2 m2 Resolución: Piden S, se observa: S 1 x 3 sen53 2   S 6 5   S  1, 2m2 Respuesta: A) 1,2 m2 Problema 2 En la figura AB = 2, BC = 3. Hallar el área de la región triangular AOC (T, B y Q son puntos de tangencia). UNI Nivel intermedio A) 10 B) 16 C) 15 D) 20 E) 25 Resolución: Piden: AAOC  Sx Sx 5 x R 2  Pero: OTMQ: Cuadrado Luego: AMC: Pitágoras (R – 2)2 + (R – 3)2 = 52 R = 6 Sx 5 x 6 15 2    Respuesta: C) 15 Problema 3 En un triángulo ABC; se traza la mediana BM y en BC se toma el punto P. Hallar el área del triángulo BMP, si el área del triángulo ABP es 18 m2. UNI Nivel intermedio A) 8 B) 10 C) 12 D) 18 E) 9 Resolución: Piden: ABPM  x Se observa: AABC  18  2 S... I También: BM: mediana  AABM  AMBC AABM  x  s Entonces: AABC  2x  2s ... II Igualando: I y II 2x  2 s  18  2 s x= 9 Respuesta: E) 9 problemas resueltos

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES FÓRMULA BÁSICA 

El área de una región triangular se calcula como el semi producto de la longitud de un lado por su altura relativa. 𝒉𝒃 𝒃 𝒃 𝒃 Respecto a la altura Puede ubicarse en su región interior. Puede ubicarse en su región exterior. ℎ𝑎 𝔸𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 𝑏 ℎ𝑏 2 𝑎 ℎ𝑎 𝔸𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 = 2 Del gráfico calcule el área de la región sombreada A B 12 𝜃 𝜃 10 C Reto domiciliario Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada si T y Q son puntos de tangencia y 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 28 Resolución Q B o Del vértice B, trazamos la altura 12 relativa a 𝐴𝐶 o Por el teorema de la bisectriz 12 𝐵𝑆 = 𝐵𝑄 = 12 o Área de la región sombreada: 𝔸(𝐴𝐵𝐶) 𝜃 𝜃 10 12 A 10 C S 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = ∴ 𝔸(𝐴𝐵𝐶) 2 = 60 A Q C FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA Demostración Un resultado de uso frecuente 𝑎 De la fórmula básica 𝑎 𝑏 𝑎 ℎ 𝐴𝑆 = Pero ℎ 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑏 2 → 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛽 = ℎ 𝔸∆ = 𝑏 𝑏 𝑠𝑒𝑛60° 2 𝑏2 𝔸∆ = 𝑏2 2 𝔸∆: Área de la región triangular ∴ 𝔸∆ = (𝒂) 𝒃 𝒔𝒆𝒏𝜷 𝟐 → 𝔸∆ = 2 𝑠𝑒𝑛60° ∴ Piden En el gráfico se muestra una lámpara de techo formada por 20 regiones triangulares equiláteras, calcule el área de la superficie total de dicha lámpara. Resolución 𝔸(𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 20 12𝑐𝑚 𝔸(𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 20 = 20 ∴ 𝔸(𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍) = 𝟕𝟐𝟎 𝟑𝒄𝒎𝟐 FÓRMULA DE HERÓN Del teorema de Herón para el cálculo de la altura BH. Del gráfico calcule, el área de la región 2 sombreada . ℎ = 𝑐 A C 𝑐 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = 𝑐 ℎ = ℎ 2 A C 9 Resolución Reemplazando ℎ 6 + 7 + 9 𝑃 = 2 → 𝑃 = 11 Donde 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = ∴ 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = → 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = ∴ 𝔸(𝑨𝑩𝑪) = 𝟐 𝟏𝟏𝟎 FÓRMULA EN FUNCIÓN DEL INRADIO 𝐶 𝐶 Demostración: 𝑎 𝑏 I 𝑟 𝑎 𝑏 𝑟 𝑟 I 𝑟 𝑟 𝐵 𝑐 El área de la región triangular es la suma de las áreas de las regiones triangulares parciales. 𝐴 𝐵 𝐴 𝑐 𝔸 𝐴𝐵𝐶 = 𝔸 𝐵𝐼𝐶 + 𝔸 𝐴𝐼𝐶 + 𝔸(𝐵𝐼𝐴) 𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 𝑟 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = 𝑎 𝑟 2 + 𝑏 𝑟 2 + 𝑐 𝑟 2 → 𝔸 (𝐴𝐵𝐶) = 𝑟 Donde: 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑟: 𝑖𝑛𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 2 ∴ 𝔸(𝐴𝐵𝐶) = 𝑝(𝑟) Aplicando lo aprendido Calcule el inradio de una región triangular cuyos lados son 13, 14 y 15. Resolución: Nos piden: 𝑟 o Cálculo del área por Herón 𝔸 = → 𝔸 = 84 … (𝐼) 𝑆𝑒𝑎: 𝑝 = 14 13 + 14 + 15 2 → 𝑝 = 21 o Cálculo del área en función del inradio 𝔸 = 𝑝 𝑟 → 𝔸 = 21𝑟 … (𝐼𝐼) o Igualando: (𝐼) y (𝐼𝐼) 21𝑟 = 84 ∴ 𝒓 = 𝟒

1. 

Un sastre cuenta con una tela de forma rectangular. Para confeccionar un pantalón, él debe hacer los cortes por las líneas trazadas con una tiza. ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene la tela que ha cortado para el pantalón? 90 cm 40 cm corte para el pantalón 

A) 3600 cm2 

B) 3200 cm2 

C) 3900 cm2 

D) 4000 cm2 

2. 

Una cometa ecológica está forrada con papel periódico y con material de carrizo. Si la altura es igual 40 3cm y su contorno es regular, halle la cantidad de papel utilizado. 

A) 1600 3 cm2 

B) 1800 3 cm2 40 3m 

C) 2400 3 cm2 

D) 3000 3 cm2 

3. 

Un agricultor desea saber el área de un terreno que tiene la forma de un triángulo cuyo perímetro es de 900 m. Si tiene como información que es semejante a otro terreno cuyos lados se encuentran en la proporción de 2; 3 y 4. Halle el área de dicho terreno.

 A) 7500 m2 

B) 7500 3 m2 

C) 7500 5 m2 

D) 7500 15 m2 

4. 

Un huerto de cultivo de hortalizas es dividido en 4 parcelas, como se muestra en el gráfico. Si ABCD es un cuadrado, BP=4 m y PQ=12 m, halle el área de la región CDQ, destinada al cultivo de zanahorias. A) 6 m2 A B P C D Q B) 10 m2 C) 12 m2 D) 16 m2 5. Halle la longitud del perímetro de la región triangular ABC. Si AC= 4 y BH=3r. (r: inradio del ABC). A H C B r A) 12 B) 15 C) 16 D) 20