CONO DE REVOLUCIÓN GEOMETRÍA DEL ESPACIO EJERCICIOS PARA RESOLVER CON CLAVES Y RESPUESTAS PDF
CONO RECTO O DE REVOLUCIÓN
Es el sólido generado por la rotación de un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de uno de sus catetos, tomado como eje.
El cateto eje es la altura del cono, el otro cateto es el radio de la base y la hipotenusa es la generatriz del cono.
CONO OBLÍCUO
Es el sólido que se determina al cortar a un cono recto con un plano no paralelo a su base.
Su base es una elipse.
TRONCO DE CONO RECTO O DE REVOLUCIÓN
Es el sólido que se determina al cortar a un cono recto con un plano paralelo a su base.
Se puede considerar como el sólido generado por la rotación de un trapecio rectángulo alrededor del lado perpendicular a las bases.
PREGUNTA 1 :
La generatriz de un cono mide 10u y el área de su superficie lateral es 60𝛑 u². Calcular el volumen del cono.
A) 84𝛑 u³
B) 69𝛑
C) 96𝛑
D) 108𝛑
E) 𝛑
PREGUNTA 2 :
Se tiene un cono recto en el cual la generatriz es el triple del radio de la base. Calcular la medida del ángulo central del desarrollo del área lateral del cono.
a) 90°
b) 120°
c) 60°
d) 45°
e) 30°
PREGUNTA 3 :
Se ha construido un cono recto con un sector circular cuyo ángulo central mide 120° y su radio mide “R”. Si “r” es la medida del radio de la base del cono, hallar “r/R”
a) 1/2
b) 1/3
c) 2/3
d) 3/4
e) 2/5
PREGUNTA 4 :
Dado un cono circular recto; el radio de la base mide 4 y la altura mide 3. Calcular el área lateral.
a) 11𝛑
b) 13𝛑
c) 20𝛑
d) 15𝛑
e) 16𝛑
PREGUNTA 5 :
Hallar el área lateral de un cono de revolución cuya generatriz mide 6cm y el diámetro de su base 8cm.
a) 12𝛑 cm²
b) 24𝛑
c) 18𝛑
d) 48𝛑
e) 32𝛑
PREGUNTA 6 :
El área lateral de un cono de revolución es 60𝛑cm² y su generatriz mide 12cm. Hallar la longitud de la circunferencia de base.
a) 10𝛑
b) 8𝛑
c) 5𝛑
d) 6𝛑
e) 9𝛑
PREGUNTA 7 :
Dado un cono circular recto cuyo radio de la base mide 5 y la generatriz mide 13. Calcular el volumen.
a) 70 𝛑
b) 80𝛑
c) 90𝛑
d) 100𝛑
e) 110𝛑
Es la superficie generada, cuando una línea recta, denominada generatriz, recorre todos los puntos de una línea curva plana no secante a si misma, denominada directriz, pasando siempre por un punto fijo exterior al plano de la directriz y conocido como vértice o cúspide. CONO DEFINICIÓN Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie cónica cerrada y un plano secante a dicha superficie que no contenga al vértice. ELEMENTOS Vértice o cúspide Hojas o mantos Vértice o cúspide Base ℎ Altura Generatriz La superficie cónica generada en el gráfico mostrado es abierta. Para todo cono, el volumen se calcula como: 𝕍 = 𝑩 ℎ 𝒄𝒐𝒏𝒐 3 CLASIFICACIÓN CONO OBLICUO C.G. Centro de gravedad de la base C.G. Centro de gravedad de la base C.G. Centro de gravedad de la base Cono de revolución o cono circular recto 𝑉 ℎ Del gráfico: • 𝑂 centro de la base. • 𝑉𝑂 es el eje del cilindro. • 𝐴𝑉𝐵 es la sección axial. • 𝐴𝑉 y 𝑉𝐵 son generatrices diametralmente opuestas DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL 𝐵 Desarrollar la superficie lateral de un cono de revolución (Cono circular recto) es aplicar su superficie sobre un plano, si esto se realiza separando una generatriz, entonces el desarrollo será un sector circular. Se cumple: La generatriz del cono, en el desarrollo viene a ser el radio del sector. El perímetro de la 𝔸𝑺.𝑳 = 𝔸𝒔𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 base del cono 2𝜋𝑅 será la longitud del 𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 arco del sector. Para el tronco de cono, el volumen se calcula: Cono Comprobación: • Notamos: 𝕍 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜 𝕍𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝕍𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 total • Por conos semejantes: 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜 3 RAZÓN DE ÁREAS: • Reemplazamos en (𝑖): • Pero: 𝔸 − 𝔹 = • Reemplazamos 𝕍 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜 RAZÓN DE VOLÚMENES: en (𝑖𝑖): ∴ 𝕍 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒐 Un cilindro de revolución está inscrito en un Piden 𝕍𝑋= Volumen del cono parcial Dato: cono de revolución, de modo que una de las bases del cilindro está sobre la base del cono. 𝕍𝐶𝑜𝑛𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 18𝑚3 𝕍𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 3 = 7 𝕍 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜 Si el volumen del cono es 18𝑚3, calcule el volumen del cono parcial determinado (en Reemplazando las formulas: 𝑚3), sabiendo que el volumen del cilindro es 3/7 del volumen del tronco de cono. 𝜋𝑟 𝑥 2ℎ = (𝑟2 + 𝑅2 + 𝑅𝑟) 𝐴) 3/4 𝐵) 5/4 𝐶) 7/4 𝐷) 9/4 𝐸) 11/4 7𝑟2 = 𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅𝑟 Resolvemos la cuadrática: 𝑅2 + 𝑅𝑟 − 6𝑟2 = 0 𝑅 3𝑟 𝑅 −2𝑟 𝑅 = 2𝑟 De la semejanza de los conos: 𝕍𝑐𝑜𝑛𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (2𝑟) 18 8 Es aquel tronco de cono generado a partir de un cono de revolución. Del gráfico: características • Las bases en todo tronco de cono de revolución son paralelas y semejantes. 𝐷 Altura 𝑂′ Base circular 𝑟 𝐶 Generatriz • 𝑂 𝑦 𝑂′: Centros de las bases • 𝐴𝐵𝐶𝐷: Sección axial • Todas las generatrices tienen la misma longitud. 𝑔 Se cumple: 𝑔 𝐴 𝑂 𝑅 Base circular 𝐵 ∴ 𝕍 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒐 𝝅𝒉 = 𝟑 𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝑹 ∙ 𝒓 Se cumple: 𝔸𝑺.𝑳 = 𝔸𝒕𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟏 + 𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟐 𝜋(𝑅 + 𝑟)𝑔 𝜋𝑅2 𝜋𝑟2 Piden 𝕍𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 En la panamericana cerca de Casma se ha formado una duna en forma de tronco de cono de revolución. Las longitudes de las circunferencias son 4𝜋𝑚 y 2𝜋𝑚. Ver figura. Halle el volumen de la duna en metros 1 𝑟 = 1 Del dato: • Longitudes de las circunferencias de las bases: cúbicos. 2𝜋𝑟 = 2𝜋 → 𝑟 = 1 ℎ= 3 2𝜋𝑅 = 4𝜋 → 𝑅 = 2 • Con ello en el triángulo rectángulo resaltado: ℎ2 + 12 2 = 10 𝐴) 3𝜋 𝐵) 5𝜋 𝐶)7𝜋 𝑅 = 2 → ℎ = 3 1 • Reemplazamos en r, 𝑅, ℎ 𝑒𝑛 𝑖 : 𝐷) 10𝜋 𝐸) 11𝜋 𝕍𝑻𝑹𝑶𝑵𝑪𝑶 𝝅𝟑 = 𝟑 𝟐𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏 Clave 𝑪 ∴ 𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝟕𝝅 Se muestra un tronco de cono Se muestra un cono de revolución 𝑉 Se cumple: 𝐴