DIEDROS Y TRIEDROS GEOMETRIA DEL ESPACIO FÓRMULAS Y PROPIEDADES PDF

PREGUNTA 1 : 
Calcular el máximo valor de una cara de un triedro equilátero. 
a) 100° 
b) 110° 
c) 130° 
d) 119° 
e) 141° 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 : 
Calcular el máximo valor entero de las caras de un triedro si las otras dos miden 100° y 120°. 
a) 100° 
b) 112° 
c) 139° 
d) 140° 
e) 141° 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 : 
Dos caras de un triedro miden 60° y 130°, ¿entre qué límites varía la tercera cara? 
a) 80° y 150° 
b) 70° y 150° 
c) 60° y 200° 
d) 70° y 170° 
e) 60° y 170°
Rpta. : "D"
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES 
Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. 
Sea la recta 𝑨𝑩, contenida en un plano 𝑴 Ubiquemos un punto 𝑯 del plano y exterior a la recta 𝑨𝑩 Se cumple: 𝐴 Siendo 𝐴𝐵 = 4 𝑦 𝐴𝐶 = 5. Calcule: 𝑥 𝐷 𝑥 𝐶 𝐵 Siendo CE = 2 y 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 = Calcule: 𝐴∆𝐴𝐸𝐶 Resolución: Piden: 𝑥 • Resolución: Piden: 𝐴∆𝐴𝐸𝐶 Empleando el teorema de las 3⊥𝑠 • Empleando el teorema de las 3⊥𝑠 𝐴𝐷 (1𝑟𝑎 ⊥) 𝑨 𝐷𝐵 (2𝑑𝑎 ⊥) 5 4 𝑫 𝑥 𝐴𝐵 (3𝑟𝑎 ⊥) (𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 90°) 𝑪 𝑩 • ⊿𝐴𝐵𝐶: Notable de 37° y 53° CONCLUIMOS: 𝑳 TENIENDO: 𝑷 1𝑟𝑎 ⊥ 3𝑟𝑎 ⊥ 𝑃𝐻 (1𝑟𝑎 ⊥) 𝐻𝑆 (2𝑑𝑎 ⊥) 𝑯 𝑩 𝑺 𝑨 2𝑑𝑎 ⊥ TAMBIÉN SE CUMPLE, QUE TENIENDO : 𝑃𝐻 (1𝑟𝑎 ⊥) 𝑃𝑆 (3r𝑎 ⊥) ÁNGULO DIEDRO Es la figura formada por la unión de dos semiplanos no coplanares (denominados caras)que tienen la recta de TEOREMA (Planos perpendiculares) origen en común (denominada arista). Son aquellos planos secantes, cuyo diedro que forman mide 90° Sean ▰𝐴 y ▰𝐵 perpendiculares, se cumple: 𝜃 = 90° 𝜃 ∢𝑀𝑂𝑁: Ángulo plano del diedro A − 𝑃𝑄 − 𝐵 𝛼: medida del ángulo diedro A − 𝑃𝑄 − 𝐵 (Notemos que la medida del ángulo diedro se ubica entre la 2da y la 3ra perpendicular) ∴ 𝛼: medida del ángulo diedro A − 𝐵𝐶 − 𝐷 Aplicando lo aprendido Según el gráfico, 𝐴𝐵 = 2(𝐵𝐶). Calcule Resolución: Piden medida del diedro 𝐴 − 𝐸𝐶 − 𝐷 Piden: 𝑥 • Por teorema de las 3⊥𝑠: 𝐴𝐷 (1𝑟𝑎 ⊥) la medida del ángulo diedro entre las 𝐴 𝐷𝐵 (2𝑑𝑎 ⊥) 𝐴𝐵 (3𝑟𝑎 ⊥) regiones 𝐸𝐷𝐶 y 𝐸𝐴𝐶. 𝐴 𝐸 𝐵 𝟏𝒓𝒂 ⊥ 𝟑𝒓𝒂 ⊥ 2𝑎 (𝑚∡𝐴𝐵𝐶 =90°) • 𝑥 es la medida del diedro 𝐴 − 𝐸𝐶 − 𝐷 • En ⊿𝐷𝐵𝐶: 𝐷𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎 • ⊿𝐴𝐷𝐵: notable de 30° y 60° 𝐶 𝐸 𝐵 𝑎 𝐷 𝑎 𝐶 𝐴)30° 𝐵)45° 𝐶)60° 𝐷)75° 𝐷 𝟐𝒅𝒂 ⊥ Clave: Aplicando lo aprendido Sean los triángulos equiláteros 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴𝐵𝐷 ubicados en planos perpendiculares. Calcule 𝐶𝐷, sabiendo que A𝐶 = 2. Resolución: 𝐷 Piden: 𝑥 2 • Trazamos la altura 𝐷𝐻 del ∆𝐴𝐷𝐵 (equilátero) y sabemos: 𝐴𝐻 = 𝐻𝐵 = 1 𝐷𝐻 = 3 • Como el ∆𝐴𝐵𝐶 es equilátero, 𝐵) 𝐶)2 𝐷)2 2 entonces: 𝐶𝐻 es altura 3 𝐶𝐻 = 3 2 Ten en cuenta que si dos planos son perpendiculares, se cumple: 𝐵 • Tenemos por dato que los planos 2 son perpendiculares, entonces: 1 𝑚∡𝐷𝐻𝐶 = 90° 𝐻 3 2 𝜃 1 2 𝐴 𝐶 • ⊿𝐷𝐻𝐶: Teorema de Pitágoras ∴ 𝒙 = Clave: Dado un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B. Por B levanta una perpendicular al plano ABC, hallar la media del diedro si PM = BC (M punto medio de ) A)30º B)45º C)60º D)53º E)34º Sobre el plano W se tiene el triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide 10 cm, por el punto C se levanta perpendicular al plano W . Determinar el área de la región triangular ADB si el ángulo formados por los triángulos DAB y CAB mide 30º. Los planos P y Q se cortan formando un diedro de 120º y una secante corta a P y Q en A y B respectivamente considerando que las distancias de A y B a la intersección de P y Q es x e y. Hallar z2 + y2 + xy, sabiendo que: AB = a En el gráfico, el cuadrado ABCD y el trapecio BNMC están contenidos en planos perpendiculares. Si MC=2(BN)=6 y MQ=2(NQ)= calcule la medida del diedro A)50° B)52° C)53° D)54° E)55° Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y ADEF es un rectángulo. Si AB=DE=3; P y Q son puntos de tangencia; calcule la medida del ángulo entre A)30° B)45° C)37° D)90° E)60°

Exámenes desarrollados de secundaria y preuniversitarios