ESFERA GEOMETRÍA DEL ESPACIO FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA PDF
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Es aquella superficie que se genera por la rotación de líneas en torno a un eje.
A continuación analizaremos casos en los que la línea está en un mismo semiplano con respecto al eje de giro.
SUPERFICIE ESFÉRICA
Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360º en torno a su diámetro.
PARTES DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA ZONA ESFÉRICA :
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.
CASQUETE ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a ella.
HUSO ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro.
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Es aquel sólido que se genera por la rotación de una región plana al girar en torno a un eje. Estudiaremos a continuación sólidos de revolución generados por regiones planas contenidas en un mismo semiplano respecto al eje de giro. En el gráfico se muestra el sólido de revolución generado por la región plana R al girar en torno al eje.
ESFERA
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º, en torno a su diámetro.
PARTES DE VOLÚMENES DE ESFERA CUÑA ESFÉRICA :
Es aquella porción de esfera que está limitada por dos semicírculos máximos que tienen el diámetro en común y por el uso esférico correspondiente.
SECTOR ESFÉRICO :
Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo semiplano respecto del eje de giro.
ANILLO ESFÉRICO :
Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el segmento circular en un mismo semiplano respecto del eje de giro.
SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES :
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera.
Si consideramos a la esfera, como el sólido generado por un semicírculo alrededor de su diámetro, aprovechando el teorema de Arquímedes en su caso general, se puede calcular el volumen de la esfera. 360° 𝑅 Se cumple: 𝑂 Donde: PRUEBA DEL TEOREMA D Ya que el segundo teorema de Arquímedes se verifica para cualquier región poligonal de las formas descritas anteriormente Consideremos entonces una poligonal regular de un número grande de lados y circunscrita en una circunferencia de radio R , La región que determina con el centro de la circunferencia genera un solido cuyo volumen será: 𝟐𝝅𝑹𝟐𝒉/𝟑 𝑂: Centro de la esfera 𝑅: Radio de la esfera Basta considerar la poligonal de una cantidad infinita de lados, de modo que al girar obtenemos una esfera cada vez más perfecta y el teorema aún seguirá siendo válido: 𝕍𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛. = 2𝜋𝑅2ℎ/3 Pero ya que la poligonal 𝐴𝐵 … 𝐹𝐺 tiene sus extremos en el eje de giro, es fácil reconocer que debido a tener muchos lados: ℎ = 2𝑅 . Reemplazando: 𝕍𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛 = 4𝜋𝑅3/3 Todo plano secante determina un círculo. 𝑟 𝑅 𝑑 𝑂 centro 𝑅 Se determina cuando el plano secante no contiene al centro de la esfera. 𝑇: punto de tangencia Se determina cuando el plano secante contiene al centro de la esfera. Se cumple: 𝑂𝑇 ⊥ ▰𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇 En el gráfico se muestra una semi esfera 𝑅 𝑅 𝑂 Se cumple: Sector circular generador 360° 𝐴 𝑅 Sector circular generador 𝐴 ℎ 𝑅 360° 𝐵 ℎ 𝐵 Se cumple: 𝕍𝑆.𝐸 = 2 𝜋𝑅2ℎ 3 También puede considerarse la siguiente situación, para un sector esférico. Donde: • 𝕍𝑺.𝑬: Volumen del sector esférico • 𝒉: longitud de la proyección ortogonal del arco 𝐴𝐵 sobre el eje de giro Región 𝑟 generadora 𝐴 360° 𝑟 Círculos contenidos en planos paralelos Se cumple: Donde: 𝑅 𝕍𝑺.𝑬 = 𝜋ℎ3 6 + 𝜋ℎ𝑟2 2 + 𝐵 𝜋ℎ𝑅2 2 𝑅 También puede considerarse la siguiente situación, para un segmento esférico. • 𝕍𝑺.𝑬: Volumen del segmento esférico • 𝒉: altura del segmento esférico, longitud de la proyección del arco AB sobre el eje de giro. Donde: • 𝕍 𝑺.𝑬 𝟏 𝒃𝒂𝒔𝒆 : Volumen del segmento esférico de 1 base • 𝒉: altura del segmento esférico Se cumple: 360° Segmento circular generador 𝐴 ℓ 360° ℎ Segmento circular generador 𝐴 ℎ ℓ 𝐵 𝐵 Se cumple: Donde: 𝕍𝑨.𝑬 = 𝜋ℎℓ2 6 También puede considerarse la siguiente situación, para un anillo esférico. • 𝕍𝑨.𝑬: Volumen del anillo esférico • 𝒉: longitud de la proyección ortogonal de la cuerda AB el eje de giro. • 𝓵: longitud de la cuerda AB • Para calcular el volumen de la cuña esférica, usaremos una regla de tres simple: 4 𝜋𝑅3 360° 3 𝕍𝐶.𝐸 𝛼 • Despejamos 𝕍𝐶.𝐸 y tenemos: 𝕍𝐶.𝐸 = 𝛼4𝜋𝑅3 (3)(360°) 𝐵 Donde: • 𝕍𝑪.𝑬: Volumen de la cuña esférica