POLIEDROS REGULARES FÓRMULAS PROPIEDADES Y EJEMPLOS RESUELTOS PDF
Son aquellos sólidos donde se cumple:
☞ Sus caras son polígonos regulares congruentes entre si.
☞ En cada vértice concurren la misma cantidad de aristas.
CUBO :
Es el poliedro regular, cuyas seis caras son regiones cuadradas.
El cubo tiene cuatro diagonales, las cuales son concurrentes en el centro.
Ten en cuenta que el centro equidista de los vértices y de las caras.
OCTAEDRO REGULAR
Es el poliedro regular, cuyas ocho caras son regiones triangulares equiláteras.
En el octaedro regular las tres diagonales son concurrentes en el centro y perpendiculares entre sí.
Calcular el volumen de un hexaedro regular si su diagonal mide . A)9 B)18 C)27 D)36 E)48 Calcular el volumen de un octaedro regular si su diagonal mide. Calcular el volumen de un tetraedro regular si el área de su superficie total es . La suma de las aristas de un octaedro regular es igual a 36 dm. Hallar el área de dicho sólido. En un cubo la suma de las longitudes de todas sus aristas es de 144 cm. Hallar la diagonal del cubo. La diagonal de un cubo mide Hallar el área total del cubo. a)216 m2 b)218 c)212 d)220 e)215 El área total de un tetraedro regular es 9m2. Calcular el volumen de dicho tetraedro. Si la diagonal de un octaedro regular mide calcular su volumen. Calcular el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de las longitudes de sus aristas 36 cm. Si las áreas totales de un tetraedro y un octaedro ambos regulares, son iguales, calcular la relación entre sus volúmenes. Calcular el volumen de un tetraedro regular en el cual la altura de una cara es igual a 2 cm.
Tetraedro regular
Es el poliedro regular, cuyas cuatro caras son regiones triangulares equiláteras. 𝐵 Se cumple: • Notación: 𝐴𝐵𝐶𝐷 • Además: 𝒂: Longitud de la arista 𝑩𝑮: Altura 𝑮: Baricentro de la cara 𝐴𝐶𝐷 𝐴 𝑎 𝑎 ℎ 𝐶 𝑎 𝐺 𝑎 𝑎 𝐷 Apliquemos lo aprendido 𝑥/2 Por propiedad de semejanza 4 = 𝑥 3 = 4 𝑥 2 𝑚 𝑚 ∴ 𝒙 = 𝟏𝟐 Clave: C 𝐵 𝑎 𝐴 • Notación: 𝑎 Hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻 • Además: 𝑂 Se cumple: 𝐶 𝑎 𝐷 𝑎 𝒂: Longitud de la arista 𝐹 𝑨𝑮: Diagonal 𝑎 𝑶: Centro de 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻 𝑎 𝐺 𝐸 𝑎 𝑎 𝐻 Apliquemos lo aprendido En la figura se muestra un cubo. Calcule el valor de 𝜃. RESOLUCIÓN Calcule 𝜃. 𝐸 𝐹 • Trazamos la diagonal BF y formamos el triángulo BDF. • ∎𝐴𝐵𝐶𝐷 , ∎𝐷𝐸𝐹𝐶 y 𝐺 ∎𝐵𝐺𝐹𝐶 son cuadrados congruentes, entonces sus diagonales son iguales. 𝑑 • ∆𝐷𝐹𝐵 es equilátero. 𝐴)45° 𝐷 𝐵)90° 𝐶)60° 𝐷)53° 𝑑 ∴ 𝜃 = 60° 𝐶 Clave: C 𝐴 𝐵 • Notación: Octaedro regular 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁 • Además: 𝒂: Longitud de la arista 𝑴𝑵: Diagonal 𝑶: Centro de 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁 OCTAEDRO REGULAR 𝑀 Se cumple: Longitud de la diagonal (MN) 𝑴𝑵 = 𝑎 Área de la superficie total (𝔸𝑺.𝑻) 𝔸𝑺.𝑻 = 2 𝑎2 Volumen (𝕍) 2. Daniel pintó las paredes y el techo del interior de un cuarto de la forma de un cubo. Si tiene una puerta de 0,9 m por 2,10 m y una ventana de 1,5 m por 2 m, ¿cuánto es el área que pintó Daniel? 4 m A) 64 m2 B) 70,5 m2 C) 75,11 m2 D) 76,15 m2 3. Halle la razón entre el área de la superficie lateral del cilindro de revolución y la superficie del tetraedro regular. A) π 6 9 B) π 6 6 C) π 6 18 D) π 3 18 𝕍 = • 𝑨𝑩𝑪𝑫 • 𝑩𝑴𝑫𝑵 • 𝑨𝑴𝑪𝑵 Cuadrados (cada uno divide al sólido en partes iguales) 3 NOTA: Apliquemos lo aprendido Un escultor dispone de un bloque de piedra de forma cúbica de 2m de arista. Calcule el volumen de piedra RESOLUCIÓN 𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 𝕍𝐷𝐸𝑆𝑃𝐸𝑅𝐷𝐼𝐶𝐼𝑂 Observamos que: 𝕍𝐷𝐸𝑆𝑃𝐸𝑅𝐷𝐼𝐶𝐼𝑂 = 𝕍𝐶𝑈𝐵𝑂 − 𝕍𝑂𝐶𝑇𝐴𝐸𝐷𝑅𝑂 3 que se desperdiciara al tallar un octaedro regular cuyos vértices 𝕍𝐷𝐸𝑆𝑃𝐸𝑅𝐷𝐼𝐶𝐼𝑂 = 23 − 3 están en los centros de las caras de dicha piedra cubica. 𝕍𝐷𝐸𝑆𝑃𝐸𝑅𝐷𝐼𝐶𝐼𝑂 4 = 8 − 3 2 ∴ 𝕍 𝐷𝐸𝑆𝑃𝐸𝑅𝐷𝐼𝐶𝐼𝑂 = 20 𝑚3 3 Clave: A 𝐴) 20 𝑚3 𝐵) 3 10 𝑚3 𝐶) 3 2 15 𝑚3 𝐷)9𝑚3 3