RECTAS Y PLANOS EN GEOMETRIA DEL ESPACIO FÓRMULAS Y PROPIEDADES PDF
DE LA GEOMETRÍA PLANA A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO
En la antigüedad para poder hablar respecto a una construcción era necesario observar la construcción real.
En la actualidad se puede mostrar un gráfico o tomar una fotografía.
Para la geometría del espacio, situaciones reales debe dibujarse respetando los teoremas y propiedades sujetas a la geometría del espacio pero ello debe representarse en un plano y ciertos gráficos se van ha distorsionar para dar la sensación de trabajar en dos planos horizontal y vertical.
PUNTO :
Es un concepto fundamental que no tiene definición, el punto no tiene dimensiones, se le representa por un punto ortográfico (.), se le nombra colocando una letra mayúscula al costado del punto.
RECTA :
Es un concepto fundamental que no tiene definición, la recta es una línea que se extiende indefinidamente en sus dos extremos, las rectas no tienen principio ni fin, es un conjunto infinito de puntos. Se les designa por una letra mayúscula o minúscula, o por dos letras mayúsculas situadas en dos puntos de la recta.
ESPACIO:
Es un concepto fundamental que no tiene definición, es ilimitado, no tiene espesor. El plano por ser ilimitado en todas sus direcciones no tiene forma, sin embargo se acostumbra a representarlo por medio de un paralelogramo colocando una letra mayúscula en una de sus esquinas.
POSTULADO DEL PLANO :
El plano es una superficie ilimitada en todas sus partes y contiene, exactamente, a toda recta que pase por dos puntos cualesquiera de dicha superficie. La idea de plano, recta y punto es un concepto intuitivo puramente experimental.
REPRESENTACIÓN DEL PLANO :
El plano se representa generalmente mediante una región paralelográmica; esto no implica que no pueda adoptar la forma de una región poligonal o circular cualquiera.
Geometría del espacio I Recta contenida en el plano Recta secante a un plano Planos secantes Planos paralelos Rectas alabeadas Rectas paralelas Recta paralela a un plano Rectas secantes P Determinación de un plano Tres puntos no colineales determinan un plano. A B C Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. M L Dos rectas secantes determinan un plano. L 1 L 2 Dos rectas paralelas determinan un plano. L 1 L 2 Posiciones relativas entre dos rectas entre recta y plano entre dos planos Ángulo entre recta y plano La medida del ángulo entre la recta L y el plano H se determina trazando una perpendicular desde un punto de la recta hacia el plano y uniendo el pie de la perpendicular con el punto P. Del gráfico, se observa que β: medida del ángulo entre L y el plano H. Teorema de las tres perpendiculares Donde BP: primera perpendicular PQ: segunda perpendicular Entonces BQ: tercera perpendicular ∴ θ =90º Recta perpendicular al plano Una recta es perpendicular a un plano si esta es perpendicular a dos rectas secantes contenidas en dicho plano. L L 1 L 2 H recta perpendicular al plano rectas secantes contenidas en el plano Ángulo entre dos rectas alabeadas Sean L 1 y L 2 rectas alabeadas. Para poder encontrar el ángulo deter- minado por 2 rectas alabeadas, se sugiere trazar una recta secante a una de ellas, pero paralela a la otra. En el gráfico se cumple que α=θ. α L 1 L 2 θ H Proyección ortogonal A’ y P’Q’ son las proyecciones ortogonales de A y PQ sobre el plano H. H A A’ P Q P’ Q’ proyectantes β L Q P recta secante al plano H B θ P L Q H En el gráfico se cumple que α=90º α Si el plano H interseca a los planos paralelos M y N en L L 1 y 2 L 1 L 2 M N H se cumple que L L 1 // 2 Nota Problemas resueltos 1. En el gráfico mostrado, los planos P, Q y H son paralelos, NL= 2(DE), MN= 8(EF) y BC= 3. Calcule AB. Resolución Nos piden x. H Q P a=2 8 2a x 3 Como los planos P, Q y H son paralelos, aplicamos el teorema de Thales. Resolución I. Verdadera En el espacio solo se admiten dos posiciones relativas entre dos planos: son paralelos o son secantes. fig. 1 fig. 2 • En la fig. 1, los planos son paralelos si son perpendiculares a una misma recta. • En la fig. 2, los planos son secantes si son perpendiculares a dos rectas que se intersecan (proposición de la pregunta). II. Verdadera Como los segmentos son de igual longitud, trazamos la perpendicular al plano desde dicho punto exterior. R A C B a a a Se formarán triángulos rectángulos congruentes, lo que dará como consecuencia que se generen segmentos congruentes que serían los radios de una circunferencia. III. Verdadera En el gráfico, para que una recta sea perpendicular a un plano, debe ser perpendicular a dos rectas no paralelas contenidas en dicho plano. L Por lo tanto, todas las proposiciones son verdaderas.