EXAMEN DE ADMISIÓN UNI GEOMETRÍA RESUELTO SOLUCIONARIO DE LA SEGUNDA PRUEBA UNIVERSIDAD DE INGENIERÍA PDF

Pregunta 21 

En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AC=2AB. Si AC=6 cm, calcule la longitud (en cm) de IM, donde M es el punto medio de AC e I es el incentro del triángulo ABC. 

A) 3 3 − 3 B) 3 2 − 3 C) 3 3 + 3 D) 3 2 + 3 E) 3 3 Polígonos regulares Dodecágono regular Piden IM. 30° L 75° x x 30° 30° 30° I 3 3 6 A C B M 3 45° 45° 3 3 75° I: incentro del ΔABC * ΔBAI ≅ ΔMAI(LAL) → BI=IM=x ΔBLI: triángulo elemental del dodecágono regular → BI=,12 x=3 2 − 3 Rpta.: 3 2 − 3 Resolución : Conjuntos I. (A B) ∪ (B A) = ∅ ( ) Resolución : Pregunta 22 En un cono truncado está inscrita una esfera, cuyo volumen es igual a 13 6 del volumen del cono truncado. Determine la medida del ángulo formado por la generatriz del cono y su base interior. A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º Cono Tronco de cono Piden θ R R M θ x x R P T r r r * Condición: Vesfera= 13 V 6 tronco cono ( ) ( ) x x r R Rr 3 4 13 6 3 3 2 2 2 r = r + + e o r2+R2= x 3 10 x22 * Propiedad: Rr=x2 R+r= x 3 4 *En el gráfico: 2x θ M T P x 3 4 ∴ θ=60° Rpta.: 60° Pregunta 23 En la figura, ABCDEF es un exágono regular; M, N y P son puntos medios de AB, CD y AF, respectivamente; calcule el radio (en cm) de la circunferencia inscrita en el triángulo QNR si AF =( 3 + 1) cm. A M B C N D F E P R Q A) 3 1 B) 2 1 C) 5 3 D) 3 2 E) 4 3 Resolución : Polígonos regulares Hexágono regular Piden: r A B C M N D F E Q R m m m 60º m r m m m 2m 2m 3 + 1 m3 * T. Poncelet: m + m 3 = 2m + 2r m( ) 2 r 3 − 1 = ................ (1) * 2m = 3 + 1 m 2 = 3 + 1 Reemplazando en (1) r 2 1 ` = Rpta.: 2 1 Pregunta 24 Se tiene un hexaedro regular ABCD-EFGH; se ubican los centros M, N y T de las caras AEFB, EFGH y GCDH, respectivamente. J es punto medio de GC . Sabiendo que EF=4 cm, calcule el área de la región MNJ (en cm2)

Pregunta 21 Determine la longitud (en cm) del lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia C de radio R cm si la longitud del lado de un polígono de doble número de lados inscrito en C es igual a R2 cm. A) 2 R 15 B) 3 R 15 C) 4 R 15 D) 5 R 15 E) 6 R 15 Relaciones métricas R.M. en el triángulo rectángulo Piden: ln A R R l2n=R2 l2n ln l2n R C B 2 R 15 ln 2 ln 2 * Relaciones métricas en el triángulo rectángulo: 15R 2 ×R2 =2R ln 2 ln = R 4 15 Rpta.: 4 R 15 Pregunta 23 En un triángulo ABC, se traza BM , calcule el área del triángulo MHC (en u2). A) 30 3 B) 32 3 C) 34 3 D) 36 3 E) 38 3 Resolución : Resolución : Áreas de regiones poligonales Áreas de regiones triangulares Piden área MHC A B E 8 q q H BHM: notable (30º y 60º) BH = 8 3 • BTC: notable (30º y 60º) BC = 16 3 • Área MHC . 32 u 2 = 8 8 3 = 3 2 Rpta.: 32 3 Pregunta 24 La figura representa un cubo de arista “a” cm. Calcule el área (en cm2) de la circunferencia que pasa por los puntos P, Q, R, S, T y U teniendo en cuenta que son puntos medios de las aristas. R S T U P Q A) πa2 B) a 2 r 2 C) 2 a 2 2 r D) 4 a 2 2 r E) 4 a 3 2 r Geometría del espacio Poliedros regulares Piden: A R S T U P Q a 2 a 2 a a 2 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 2 a 2 2 a2 a2 Resolución : Resolución : Q P S R U T a 2 2 a 2 2 a 2 2 a 2 2 El polígono RQPUTS es un hexágono regular. A = ( ) a2 r 2 2 A = a 2 r 2 Rpta.: a 2 r 2 Pregunta 25 En la figura se tiene una plataforma rígida ABCD en forma de trapecio tal que AB = DC = 2BC = 20 cm y una cuerda AP. Calcule (en cm) la longitud recorrida por el extremo P hasta que haga contacto con DC sabiendo que AP = 40 cm. A 54° 54° D B C P A) 14π B) 15π C) 16π D) 17π E) 18π Circunferencia Longitud de arco