POLÍGONOS FORMULAS Y PROPIEDADES EJEMPLOS RESUELTOS GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA

POLÍGONO CONVEXO : 
Un polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos. 

POLÍGONO NO CONVEXO : 
Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos. 

PROPIEDADES DEL POLÍGONO 
En todo polígono de n lados En un polígono se cumple que su número de lados, número de vértices, número de ángulos interiores y número de ángulos exteriores (uno por vértice) son iguales. 
Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:
Para la construcción de algunos objetos que nos rodean se utilizan los polígonos regulares como estos dos balones de fútbol de 32 paños doce de los cuales tienen forma pentagonal y los veinte restantes formas hexagonal. 

Polígonos estrellados 
Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado. 
Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n lados (la circunferencia estará dividida en n partes iguales) uniendo las divisiones de a en a, es necesario (y suficiente) que a y n sean primos. Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n – a en n – a (es decir de a en a en sentido contrario), se podrán construir polígonos estrellados considerando los números menores que n/2, que sean primos con n. 
El número primo con 5 menor que 5/2 es 2; podemos construir el pentágono estrellado uniendo las divisiones de dos en dos. 
Obtenemos de esta forma el más popular de los polígonos estrellados y, posiblemente, el emblema de la escuela pitagórica. En él el número áureo aparece por doquier. 
No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya que no existe ningún número primo con 6 menor que 6/2.
DEFINICIÓN: Sean P1, P2, P3, P4,...... Pn-1, Pn puntos distintos en el plano y no colineales con n>2. La unión de los segmentos P1 P2, P2,P3, ......., Pn-1Pn, PnP1, recibe el nombre de POLÍGONO, si los segmentos tienen las siguientes propiedades: - Dos segmentos con un punto común no deben ser colineales. - Dos segmentos cualesquiera sólo pueden interceptarse en sus extremos. En la figura, la parte punteada indica otros posibles puntos y segmentos puesto que n es un número natural cualesquiera igual o mayor que 3. ELEMENTOS DEL POLÍGONO - Los puntos P1, P2,.......,Pn se llaman verticales del polígono. - Los segmentos P1P2, P2P3, ...., Pn-1, PnP1, son los lados del polígono. - Dos segmentos con un vértice común determinan un ángulo al cual llamaremos ángulo interno del polígono. - Un ángulo es ángulo externo de un polígono si y solo si forma un par lineal adyacente con uno de los ángulos internos del polígono. - Un segmento que une dos vértices no consecutivos lo denominaremos diagonal del polígono. - Un segmento que une los puntos medios de dos lados cualesquiera, lo llamaremos diagonal media del polígono. OBSERVACIÓN: En un polígono de n lados existen n vértices, n ángulos internos. NOTA 1: Todo polígono divide al plano en tres subconjuntos de puntos: - Puntos interiores al polígono. - Puntos exteriores al polígono - Puntos que pertenecen al polígono. Un punto está en el interior de un polígono si está en el interior de cada uno de los ángulos internos del polígono, y está en el exterior, si no está ni en el interior ni en el polígono. NOTA 2. El perímetro del polígono es igual a la suma de todos sus lados. NOTA 3 Región poligonal es una figura formada por los puntos del polígono y los puntos interiores al polígono. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Los polígonos se clasifican en: a) Por el número de lados Triángulo 3 lados Cuadrilátero 4 lados Pentágono 5 lados Hexágono 6 lados Heptágono 7 lados Octágono 8 lados Nonágono o Eneágono 9 lados Decágono 10 lados Endecágono o Undecagono 11 lados Dodecágono 12 lados Pentadecágono 15 lados Icoságono 20 lados Los polígonos restantes se llaman según su número de lados. Por ejemplo: polígono de 14 lados, polígono de 25 lados, etc. b) Por su forma 1. Polígono Convexo: Es interceptado en sólo dos puntos por una recta secante. 2. Polígono no Convexo Es interceptado en más de dos puntos por una recta secante. 3. Polígono Equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son todos congruentes.Ejemplo: 4. Polígono Equiángulo Es aquel polígono cuyos ángulos internos son todos congruentes 5. Polígono Regular Es aquel polígono que es a la vez equiángulo y equilátero. Ejemplo: 1. Polígono No Regular (Irregular) Es aquel polígono que no cumple las condiciones del polígono regular. FÓRMULAS GENERALES EN UN POLÍGONO DE N LADOS. d: Números de diagonales que se pueden trazar desde un vértice. d = N-3 D : Número total de diagonales que se pueden trazar. D = Z : Número de diagonales que se pueden trazar desde “V” vértices consecutivos. Z : V x N - Si : Suma de las medidas de los ángulos internos Si = 180º (N-2) Se: Suma de las medidas de los ángulos externos Se = 360º FORMULAS PARA POLÍGONOS REGULARES DE N LADOS i : Medida de un ángulo interno i = e: Medida de un ángulo externo e = c : Medida de un ángulo central c =

Exámenes desarrollados de secundaria y preuniversitarios