POLÍGONOS REGULARES FÓRMULAS Y PROPIEDADES DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
Un polígono convexo se llama regular cuando sus lados y sus ángulos interiores son congruentes.
Los polígonos regulares son inscriptibles en una circunferencia y circunscriptibles a otra.
Se llama apotema a la perpendicular que se traza del centro del polígono a uno de sus lados.
Se llama triángulo elemental del polígono a aquel triángulo cuyos vértices son dos vértices consecutivos del polígono y el tercer vértice es el centro.
NOCIONES PREVIAS
𝑂: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝛽: 𝑚∢𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a dos circunferencias concéntricas. Polígono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐺𝐹 𝑂: Centro del Polígono Regular 𝑟: Inradio 𝑅: Circunradio 𝑂𝐻: Apotema (𝑎𝑝 = 𝑟) 𝜃𝑛: Medida del ángulo central 𝛽: Medida del ángulo exterior Estudiaremos las relaciones entre el lado, ángulo central, apotema y circunradio de un polígono regular ∆𝐸𝑂𝐺: Triángulo elemental del polígono regular. 𝑙𝑛: Longitud del lado del polígono regular CÁLCULO DE LA LONGITUD DEL LADO Y APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR Veamos: 𝑙𝑛 𝐴 2 𝑙𝑛 2 𝐵 Cálculo de la longitud del lado, en el ∆𝐶𝑂𝐷: elemental, aplicamos el teorema de coseno: 𝑀 𝐶 (𝑙𝑛 )2= 𝑅2 + 𝑅2 −2(𝑅)(𝑅)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛 𝑎𝑝 𝑅 𝑅 𝑙𝑛 → (𝑙𝑛)2 = 2𝑅2 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛) … (𝑖) Polígono regular de 𝑛 lados 𝑂 𝜃𝑛 𝑅 𝐷 Cálculo de la longitud de la apotema, en el⊿𝑂𝑀𝐵: T. Pitágoras 2 2 = 𝑅2 − 𝐸 → 𝑎𝑝 = … (𝑖𝑖) Reemplazamos (𝑖) en 𝑖𝑖 : 𝑅 EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2017-I RESOLUCIÓN Piden 𝐴𝐵 = 𝑥 • Sea 𝐴𝐵 uno de los lados del polígono Determine la longitud (en cm) del lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia 𝒞 de radio 𝑅 𝑐𝑚 , si la longitud del lado del polígono regular de doble número 𝑅Τ2 𝑀 𝐴 𝑥 𝑁 2 𝑥 𝑅Τ2 𝑥 𝐵 2 regular cuya longitud de lado nos piden calcular. • Sea 𝑚𝐴𝑀 = 𝑚𝑀𝐵 Entonces 𝐵𝑀, 𝑀𝐴, … son los lados del polígono regular de doble número de 𝑅 de lados inscrito en 𝒞 es 𝑐𝑚. 2 lados. 𝑅 → 𝐵𝑀 = 𝑀𝐴 = 2 15 15 𝐴) 𝑅 𝐵) 𝑅 15 𝐶) 𝑅 • Trazamos el diámetro 𝑥 2 3 4 𝑅 𝑀𝐿 y la cuerda 𝐵𝐿 → 𝐴𝑁 = 𝑁𝐵 = 2 15 15 𝐷) 𝑅 𝐸) 𝑅 2𝑅 𝑅 15 5 6 Nota: Para generar al polígono regular de 𝒞 doble número de lados inscrito en la misma circunferencia, ubicamos el punto medio de uno de los arcos que le corresponde a uno de los lados del polígono regular inicial. 𝐿 2 • En el ⊿𝑀𝐵𝐿, por T. Pitágoras: 𝑅 15 𝐵𝐿 = 2 • En el ⊿𝑀𝐵𝐿, por producto de catetos: = 2𝑅 TRIÁNGULO REGULAR (𝒍𝟑) CUADRILÁTERO REGULAR (𝒍𝟒) 𝜃3= 360° 3 𝜃4= 360° 4 En el ∆𝐵𝑂𝐶, elemental, isósceles de 120° En el ⊿𝐵𝑂𝐶,elemental, isósceles de 45° y 45° El ⊿𝑂𝑀𝐶 es de 30° y 60° El ⊿𝑂𝑀𝐶 es de 45° y 45° NOTA: Al triángulo regular, simplemente le denominamos, triángulo equilátero. NOTA: Al cuadrilátero regular, simplemente le denominamos, cuadrado. HEXÁGONO REGULAR (𝒍𝟔) OCTÁGONO REGULAR (𝒍𝟖) 𝐴 𝜃6= 360° 6 𝜃8 360° = 8 6 En el ∆𝐵𝑂𝐶, elemental, es equilátero 𝐷 Por teorema en el ∆𝐴𝑂𝐵, elemental: 𝒍𝑛 = 𝑅 𝒍𝟖 = 𝑅 𝐸 El ⊿𝑂𝑀𝐶 es de 30° y 60° Por teorema: 𝑎𝑝 = 𝑎𝑝8 = 𝑅 Piden 𝑟 • Como las circunferencias son Se colocan ocho monedas de igual radio tangentes dos a dos, tangencialmente alrededor de una moneda de mayor radio, entonces la relación entre el radio de la moneda mayor y el radio de la moneda menor es: 𝑟 𝑟 2𝑟= 𝑙8 tangentes exteriores, usamos la colinealidad entre los centros y el punto de tangencia. • Con ello notamos que, el polígono formado es un octágono regular. 2 𝐴) 2 𝑟 − 2 𝐵) − 1 𝑟 → 2𝑟 = 𝑙8 • Sabemos: 𝑙8 =(𝑅 + 𝑟) 2 1 𝐶) − 2 𝑅 Elemental del octágono regular 2ฏ𝑟 𝑟 → 2𝑟 − 𝑟 Lado del ∆Elemental = 𝑅 2 1 𝐷) − 4 2 1 𝐷) − 8 𝑟 • Operando: 𝑟 𝐶 𝐷 𝐵 𝐸 𝜃12= 360° 12 𝐴 𝑅 𝑅 𝑂 𝜃12= 30° 𝐹 𝑙12 Por teorema en el ∆𝐹𝑂𝐺, elemental: 𝒍𝑛 = 𝑅 𝑙12 = 𝑅 𝑅 𝐾 𝐺 Por teorema: 𝑎𝑝12 𝐿 𝑎𝑝 = 𝐻 𝑎 = 𝑝12 𝐽 𝐼 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZÓN Dado el segmento 𝐴𝐵, ubicamos 𝑃 en 𝐴𝐵 (𝐴𝑃 > 𝑃𝐵) 𝑃 divide en media y extrema razón a 𝐴𝐵, cuando 𝐴𝑃 sea media proporcional entre 𝐴𝐵 y 𝑃𝐵. Si 𝑀𝑁 es la sección áurea de 𝑃𝑄, entonces: 𝑀𝑁 5 − 1 = = 𝜙′ 𝐴 De lo anterior: 𝑃 Operando: 𝑃𝑄 Como también: 𝐵 𝑃𝑄 𝑀𝑁 = 2 5 + 1 = 𝜙 2 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 ℓ → 𝑥 𝑥 = ℓ − 𝑥 𝑥2 + ℓ𝑥 − ℓ2 = 0 • De la relación encontrada, indicamos que 𝑨𝑷 es la sección áurea de 𝑨𝑩. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA RAZÓN En la figura 𝐶𝐵 = 7, 𝑂 centro de la circunferencia, la razón de 𝑟 y 𝐵𝐴 es de 2 a 3. si 𝐴𝑇 es el segmento áureo de 𝐴𝐵, determine 𝐴𝑇. 𝐶 Piden 𝐴𝑇= 𝑥 𝐵 𝑟= 2𝑎 𝑇 𝑂 3𝑎 𝑥 • Notamos que debemos calcular el valor de 𝑎 para encontrar el valor de 𝑥 • Como 𝑟 = 2𝑎 → 𝐴𝐶 = 4𝑎 • En el ⊿𝐴𝐵𝐶 aplicamos el teorema de Pitágoras: 4𝑎 2 = 3𝑎 2 2 1 𝐴) 2 ( 5 − 1) 3 𝐵) 2 ( 5 − 1) Dato: • 𝑟 = 2 𝐵𝐴 3 4𝑎 𝑟 = 2𝑎 𝐵𝐴 = 3𝑎 → 𝑎 = 1 • Reemplazamos en 𝑖 : 4 𝐶) ( 5 − 1) • 𝐴�� 5 − 1 𝑥 = = 5 − 1 𝐴 𝑥 = 3𝑎 3 𝐴𝐵 5 5 2 3𝑎 2 𝐷) 4 ( 5 − 1) 𝐸) 3 ( 5 − 1) (𝑖) 𝐶 𝑅 𝑎𝑝5 𝑂 𝜃5 𝐷 360° = 5 𝐸 𝐷 𝐹 𝐶 𝐺 𝑂 𝜃10 360° = 10 𝜃5 𝑅 7ฐ2° 𝑅 𝐴 𝐸 𝑙5 𝒍𝟓 = 𝑹 𝟐 𝟏𝟎 − 𝟐 𝟓 𝑅 𝜃10 𝐵 3ฐ6° 𝑅 𝐻 𝑅 𝐴 𝐼 𝐽 VEAMOS LA PRUEBA DE LOS RESULTADOS PARA LAS LONGITUDES DE 𝑙10 𝑦 𝑎𝑝10 Para ello, usaremos el triángulo elemental del decágono regular: Trazamos la bisectriz interior 𝐵𝐿. → 𝐸𝑙 ∆𝐿𝐵𝐴 es isósceles, con ello 𝐵𝐿 = 𝑙10, además: 𝑂𝐿 = 𝑙10 → 𝐿𝐴 = 𝑅 − 𝑙10 En el ∆𝑂𝐵𝐴 por antiparalela: 𝑙10 2 = 𝑅 − 𝑙10 𝑅 → 𝑙10 2 + 𝑅 ∙ 𝑙10 − 𝑅2 = 0 Resolviendo: ∴ 𝒍𝟏𝟎 𝑹 = ( 𝟓 − 𝟏) 𝟐 … (𝑖) Por teorema sabemos: 𝑂 Reemplazamos (𝑖) en 𝑖𝑖 : → 𝑎𝑝10= 𝑹 … (𝑖𝑖) Nota: ∴ 𝒂𝒑𝟏𝟎= ( 𝟏𝟎 + 𝟐 𝟓) 𝟒 De (𝑖) 𝑙10 − 1 𝑅 = 2 El lado de un decágono regular es la sección áurea de su circunradio. VEAMOS LA PRUEBA DE LOS RESULTADOS PARA LAS LONGITUDES DE 𝑙5 𝑦 𝑎𝑝5 Para ello, usaremos el triángulo elemental del pentágono regular: Trazamos la ceviana interior 𝐵𝐿. Tal que 𝑂𝐵 = 𝐵𝐿 = 𝑅 𝐵 Notamos que el ∆𝑂𝐵𝐿 es el elemental del decágono regular de circunradio 𝑅. 𝑅 36° Con ello tenemos que 𝑂𝐿 = 𝑙10 RECUERDA: → 𝐿𝐴 = 𝑅 − 𝑙10 En el ∆𝑂𝐵𝐿: 𝑙5 2 =𝑅2 +(𝑅)(𝑅 − 𝑙10) … (𝑖) 𝑅 𝑅 𝑙5 𝑎 𝑎 𝑙 Se cumple: Pero: 𝑙10 𝑅 = ( 5 − 1) 2 72° 72° 𝑛 Reemplazamos en 𝑖 : 𝑚 ∴ 𝒍𝟓= … (𝑖𝑖) 𝑂 𝑙10 𝐴 𝐿 𝑅 − 𝑙10 𝑅 Cálculo de 𝒂𝒑𝟏𝟎 Por teorema sabemos: → 𝑎𝑝5= 𝑹 … (𝑖𝑖𝑖) Reemplazamos (𝑖𝑖) en 𝑖𝑖𝑖 : ∴ 𝒂𝒑𝟓= ( 𝟓 + 𝟏) 𝟒 ∆Elemental del triángulo regular 𝑙3 ฑ 𝑅 3 ∆Elemental del cuadrilátero regular 𝑙4 ฑ 𝑅 2 ∆Elemental del pentágono regular 𝑙5 𝑅 = 2 10 − 2 5 ∆Elemental del hexágono regular ∆Elemental del octágono regular ∆Elemental del decágono regular ∆Elemental del dodecágono regular 𝑙6 𝑅ฎ 𝑙8 𝑙10 𝑅 2 𝑙12 5 + 1 𝑎 2 𝑎 108° 𝑎 PENTÁGONO REGULAR La longitud del lado de un pentágono regular es igual a la longitud de la sección áurea de su diagonal. De manera práctica: También: 𝑅 2 + 3 Tener presente también a estos triángulos, ya que tienen cierta frecuencia en problemas que involucren a polígonos regulares. 𝑙10 𝜃 𝑙5 𝑎 𝑙6 Si 𝑙10, 𝑙6 y 𝑙5 representan las longitudes de los lados del decágono, hexágono y pentágono (todos regulares) con el mismo circunradio. Se cumple: En la figura 𝑂 es el centro de la semicircunferencia. Además, 𝑃 y 𝑁 son puntos de tangencia. Calcule 𝑃𝑅. Piden 𝑃𝑅 = 𝑥 • Trazamos 𝑂𝑀 𝑙6 𝑁 60° • En el ∆𝑀𝑂𝑅 elemental del decágono regular → 𝑅𝑀 = 𝑙10 • En el ∆𝑀𝑂𝑁 𝑀 𝑙10 42° 𝑘 𝑙6 𝑘 𝑃 Elemental del hexágono regular → 𝑀𝑁 = 𝑙6 = 𝑘 𝐴) 𝐵) 𝑅 𝑘 𝑥= 𝑙5 36° 60° 𝑂 18° 𝑘 • En el ⊿𝑅𝑀𝑃: Los catetos son: 𝑅𝑀 = 𝑙10, 𝑀𝑃 = 𝑙6 𝐶) 𝐴) 𝐸) 𝑘
RECUERDA: Entonces se trata del triángulo rectángulo donde la longitud de su hipotenusa es igual a 𝑙5 → 𝑥 = 𝑙5
En un hexágono regular ABCDEF de lado igual a las prolongaciones de la diagonal y el lado se cortan en "P". Hallar "PD". El lado de un dodecágono regular ABCDEFGHIJKL mide . Calcule AE. Entonces "" es equivalente al lado de un: A)Triángulo regular. B)Cuadrado. C)Octógono regular. D)Dodecágono regular. E)Hexágono regular. En el dodecágono regular ABCDEFGHIJKL, de centro O, , AL=4. Calcule OP. A)2 B)4 C)1 D)1/2 E)3/2 En la figura: AB = R, . Calcule la . a)10° b)15° c)18° d)20° e)25° En la figura: AB = BC = AC, son los lados de un cuadrilátero, pentágono y decágono respectivamente. Calcule x. a)127° b)124° c)126° d)123° e)125° En la figura: las dos circunferencias son congruentes, AB = AD y AC = 2, AB es la sección áurea, . Calcule PC. En un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una semicircunferencia, , PF = a y PD = b. Calcule PH.