RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
TEOREMA DE LA TANGENTE
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una recta tangente y una secante, se cumple que la longitud del segmento tangente es media proporcional con las longitudes de la secante y su parte externa.
TEOREMA DE LAS CUERDAS Relaciones métricas en la circunferencia Apliquemos lo aprendido Del gráfico, calcule 𝑥 B B B Se cumple 𝑎 𝑏 = 𝑥 𝑦 Demostración La demostración se realiza a Al completar las medidas angulares, notamos que los triángulos APC y DPB son semejantes. Resolución: Por el teorema de las cuerdas 9𝑥 = 12 3 partir de la semejanza de triángulos 𝑎 𝑥 → 𝑦 = 𝑏 ∴ 𝒂 𝒃 = 𝒙 𝒚 ∴ 𝒙 = 𝟒 Apliquemos lo aprendido Del gráfico, calcule 𝑥. E A 15 𝑥 6 Una relación muy interesante Se cumple Resolución De la relación anterior → 9𝑥 = 90 𝑥 9 = 6 15 ∴ 𝒙 = 𝟏𝟎 DEMOSTRACIÓN En la circunferencia 𝐶1: 𝑚 ℎ = 𝑎 + 𝑦 𝑏 … … . (𝐼) En la circunferencia 𝐶2: E A 𝑚 ℎ = 𝑦 𝑏 + 𝑥 … … . (𝐼𝐼) Igualando (𝐼) y (𝐼𝐼) 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑦 = + 𝑦 𝑥 ∴ 𝒂 𝒃 = 𝒙 𝒚 TEOREMA DE LA TANGENTE T Sea T punto de tangencia 𝑥 Calcule 𝑥 ( T : punto de tangencia) Resolución 1 Por el teorema de la tangente 𝑥2 = 9 4 B 𝑏 C 𝑎 A Calcule 𝑦 ( T : punto de tangencia) ∴ 𝒙 = 𝟔 Resolución 2 • 𝐴𝐶 es un segmento secante • 𝐴𝐵 parte externa Por el teorema de la tangente Se cumple (4 10)2= 8 + 𝑦 8 𝑥2 = 𝑎 𝑏 160 = 8 + 𝑦 (8) 20 = 8 + 𝑦