RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
OBJETIVOS :
• Conocer las diferentes relaciones métricas de los elementos del triángulo rectángulo.
• Aplicar dichos teoremas en la solución de problemas tipo examen de admisión.
• Finalmente a partir del desarrollo de problemas tener la experiencia suficiente para afrontar un examen de admision .
RELACIONES MÉTRICAS
• TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
CÁLCULO DE UN CATETO.
TEOREMA DE PITÁGORAS.
CALCULO DE LA ALTURA RELATIVA A LA HIPOTENUSA.
TEOREMA DEL PRODUCTO DE CATETOS.
DEMOSTRACIÓN:
Demostrar que : Completamos las medidas y buscamos semejanza. 𝛼 𝜃 𝜃 • El ⊿ABC = a 𝑎 = 𝑛 ⊿BHC: 𝑏 𝑎 TEOREMA DE LA RAZÓN DE CATETOS. H n 𝛼 A b C Demostrar que : c a ÷ n b Del gráfico AOB es un cuadrante, si AP=4 y PC=5. Calcule R A RESOLUCIÓN: A 2 4 M 2 P R Nos piden R Datos: AP=4 y PC=5 • Como el radio es constante: AO=R • Por la observación: R 5 AM=MP=2 O B C • Entonces 𝐴𝑂 es cateto del ⊿AOC, por teorema del calculo del cateto: 𝑅2 = (9)(2) ∴ R = 3 2 TEOREMA DE PITÁGORAS. DEMOSTRACIÓN: TEOREMA DEL CÁLCULO DE LA ALTURA. B 𝛼 𝜃 b Demostrar que : h Completamos las medidas y buscamos semejanza. • El ⊿AHB = ⊿BHC: 𝜃 𝛼 ℎ 𝑚 = A m n C 𝑛 ℎ RESOLUCIÓN: B A m Si AH=m H x D y C • En el ⊿APD, por teorema del cálculo de la altura: 12 = (m)(x) • En el ⊿ABC, por teorema del cálculo de la altura: ÷ 42 = (m)(x+y) 1 = (x) 16 (x+y) ∴ x = 1 y 15 TEOREMA DEL PRODUCTOD DE CATETOS. DEMOSTRACIÓN: B Demostrar que : 𝜃 • El ⊿ABC ~ ⊿AHB: c 𝛼 a 𝑎 𝑏 = h ℎ 𝑐 𝜃 H 𝛼 A b C TEOREMA DE LA INVERSA DE PITÁGORAS. Demostrar que : • Teorema de Pitágoras: c a 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 h • Teorema del producto de catetos: (a)(c)= (b)(h)…… elevamos al cuadrado (𝑎2) (𝑐2) = (𝑏2) (ℎ2) (𝑎2) (𝑐2) = (𝑎2 + 𝑐2) (ℎ2) b RESOLUCIÓN: Nos piden la distancia de A al 𝑃𝑄 = x P Dato: PQ=12 (𝐴𝐵)2 - (𝐵𝑃)2=60 • Como ABCD es un cuadrado: AB=BC=CD=AD=a • En el vértice C: m∢QCD=m∢PCB=𝜃 • Entonces el ⊿PBC = PB=QD=b AQ=a-b ⊿QDC (ALA): • En el ⊿PAQ, por teorema del producto de catetos: (a+b)(a-b)= (12)(x) = 12(x) 60 = 12x A D ∴ x = 5 TEOREMAS ADICIONALES: Q y T son puntos de tangencia d 2. B 4. P T Q x b PBQH es un rectángulo a Q h P c a A H C b RETO DEL TEMA: Si T y Q son puntos de tangencia Demuestre que: P