SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Es la relación entre personas u objetos que se parecen o tienen características comunes.
Por ejemplo, un arquitecto creó un estadio a semejanza del Estadio Nacional.
No obstante, en las matemáticas el concepto de semejanza está muy ligado a la proporcionalidad; por eso se dice que dos objetos son semejantes si tienen una proporción entre ellos.
En todo triángulo, al trazar una recta secante a dos lados (o a sus prolongaciones) y paralela al tercer lado se logra formar triángulos semejantes.
Razón de semejanza (r)
Es aquel número real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes homólogas de dos triángulos semejantes.
Semejanza de triángulos
Definición
Dos triángulos son semejantes, si tienen sus tres ángulos internos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos son directamente proporcionales. ⇒ El ΔABC ~ ΔPQR
Ejemplo:
Razón 2
Algunas figuras donde se presentan triángulos semejantes 1. Si MN// AC ⇒ el ΔABC ~ ΔMBN 2. Si MN// AC ⇒ el ΔABC ~ ΔMBN 3. Cuadrado inscrito en un triángulo x = b h bh + 4. Cuadrado inscrito en un rombo. x = d D dD + d y D son diagonales A B C D x E 2k 4k 3k k Geometría EJERCICIOS DE CLASE Nº 8 1. En la figura, la escalera tiene las siguientes medidas 6AB = 3BC = 4CD = 12DE. Halle x. A) 40 cm B) 56 cm C) 30 cm D) 40 cm E) 50,5 cm Solución: A) TEOREMA DE THALES 100 x 10k 3k x = 30 cm Rpta.: C 2. En la figura, BD = 8 cm, BC = 16 cm y AB = 18 cm, halle la altura de la pila de libros situados en el césped. A) 58 cm B) 56 cm C) 59 cm D) 54 cm E) 59,5 cm A C B D A B C D x E Solución: 1) ECD ~ ABD(AAA) 8 24 18 EC ED = 54 cm Rpta.: D 3. En la figura, L1 // L2 // L3. Si 3AB = 7BC, DE = 2.8 m y EF = 1.5 m, halle x. A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60° Solución: 1) L1 // L3 : mELF = 90° L2 // L3 : mEFL = x 2) Teorema de Thales : 3 2.8 7 EL a a , EL = 1.2 cm 3) ELF: Notable de 37° y 53° x = 53° Rpta.: D A C B D E 4. En la figura, AD = DC, 2BC = 3AB, BE = 12 cm y EF = 4 cm. Halle DF. A) 36 cm B) 40 cm C) 32 cm D) 30 cm E) 48 cm Solución: 1) BAD: Teorema Bisectriz interior x 4 12 b a2 2) BCD: Teorema Bisectriz interior x 16 b a3 3) De (1) y (2): x = 32 cm Rpta.: C 5. En la figura, MN// AC , BM = 3AM = 1.2 m y BC = 1.4 m. Halle AC. A) 1 m B) 1,6 m C) 0,9 m D) 8,5 m E) 9,5 m Solución: 1) I: Incentro ABC 2) MI // AD : Teorema de Thales 3 0.4 1.2 b a 3) ABC: Teorema del Incentro 3 x 3 b a 4) De (2) y (3): x = 1 m Rpta.: A 6. En la figura, ABCD es un romboide. Si B es punto medio de PC , AR = RD y QT = 9 cm, halle DT. A) 6 cm B) 8 cm C) 6,5 cm D) 5 cm E) 7,5 cm Solución: 1) PQB DQA(ALA) PQ = 9 + x PB = 2a 2) PTC DTR(AA) x = 6 cm Rpta.: A 7. En un triángulo ABC, se ubican los puntos Q , P y M en AB , AC y en la prolongación de AC respectivamente. Si BC // PQ , BC QM = {N} ,7AQ = 11QB, 2BN = 7NC y QN = 14 cm, halle MN. A) 4,5 cm B) 6,5 cm C) 7 cm D) 8 cm E) 10 cm Solución: 1) 7AQ = 11QB AQ = 11k , QB = 7k 2) PQ//BC: AP = 11a, PC = 7a 3) 2BN = 7NC BN = 7b, NC = 2b 4) Teorema de Menelao: 11k.7b.y = 7k.2b.(18a + y) y = 4a 5) QP//NC: 7a 4a 14 x entonces x = 8 cm Rpta.: D 8. En la figura, BM es mediana. Si AP = 4 cm y AC = 12 cm, halle BP. A) 1 cm B) 1,5 cm C) 2 cm D) 2,5 cm E) 3 cm Solución: 1) Teorema de Ceva: 4.a.6 = x.b.6 4 x b a 2) Teorema de la bisectriz interior: 12 4 x b a 3) De (1) y (2): x = 2 cm Rpta.: C 9. En la figura, 5AH = 3HC, BM = MC y AE = 18 cm. Halle EF. A) 6.6 cm B) 4 cm C) 5,5 cm D) 8 cm E) 6 cm Solución: 1) Thales: 5 3 MC MF 2) HBM ~ BEF: 5b 2b HM 2x 35 = HM A B C E F M H A B C E F M H 3k 5k 18 2x 5x 2b 3b 5b 3) AFC ~ HMC: k5 k8 x5 x2 18 2x = 6 cm Rpta.: E 10. En la figura, 2DC = 7DE y AE = 4 cm. Halle CE. A) 15 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 10 cm E) 13 cm Solución: 1) T.D.A.: a2 4 = a7 4 a9 9a = 10 x = 10 cm Rpta.: D 11. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si AM = MD y 3CQ = 5QD, halle RQ PR . A) 3 B) 2 3 C) 2 D) 3 E) 2 5 Solución: 1) T.B.I. (PCQ): 2 5 10 RQ PR Rpta.: C A B E D C A B E D C 4 90° 90° 2a 7a x A B C D P Q M R 6a 2 4a 3a 5a 4a 10a 8a 37° 53° 2 53° 2 53° 2 a A B C D P Q M R 12. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan la bisectriz interior AD , la mediana BM y la ceviana CE concurrentes. Si AB = 12 cm y BC =