Geometría problemas resueltos de secundaria y pre universidad

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf

1. Los lados de un triángulo miden 18; 24 y 36 u. Hallar el menor lado de un triángulo semejante cuyo perímetro es 65 u.
a) 16 u b) 10 c) 15
d) 20 e) 18
2. Una torre de 15 m de altura proyecta una sombra de 
60 m de longitud. ¿Cuál es la estatura de un niño que a la misma hora proyecta una sombra de 4 m de longitud?
a) 1 m b) 1,2 c) 1,4
d) 1,6 e) 1,8
3. Si los radios de dos circunferencias miden 3 y 1 m. La mínima distancia entre los centros es 10 m, entonces la distancia entre el punto de intersección de las tangentes interiores y el punto de intersección de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias es :
a) 14 m b) 7,5 m c) 7 m
d) 1,2 m e) 6,5 m
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  • 4. Calcular el perímetro de un triángulo si es semejante a otro, de lados: 6; 9 y 10. Además la razón con el primero es 1/5. a) 5 b) 25 c) 100 d) 125 e) 250 5. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, de altura BH igual a 4 y AC = 12. Calcular el lado del cuadrado inscrito, uno de cuyos lados está en la hipotenusa. a) 3 b) 4 c) 6 d) 2 e) 1 Semejanza de triángulos Definición Dos triángulos son semejantes, si tienen sus tres ángulos internos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos son directamente proporcionales. ⇒ El ΔABC ~ ΔPQR Razón de semejanza (r) Es aquel número real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes homólogas de dos triángulos semejantes. Ejemplo: Razón 2 Algunas figuras donde se presentan triángulos semejantes 1. Si MN// AC ⇒ el ΔABC ~ ΔMBN 2. Si MN// AC ⇒ el ΔABC ~ ΔMBN 3. Cuadrado inscrito en un triángulo x = b h bh + 4. Cuadrado inscrito en un rombo. x = d D dD + d y D son diagonales A B C D x E 2k 4k 3k k Geometría EJERCICIOS DE CLASE Nº 8 1. En la figura, la escalera tiene las siguientes medidas 6AB = 3BC = 4CD = 12DE. Halle x. A) 40 cm B) 56 cm C) 30 cm D) 40 cm E) 50,5 cm Solución: A) TEOREMA DE THALES 100 x 10k 3k  x = 30 cm Rpta.: C 2. En la figura, BD = 8 cm, BC = 16 cm y AB = 18 cm, halle la altura de la pila de libros situados en el césped. A) 58 cm B) 56 cm C) 59 cm D) 54 cm E) 59,5 cm A C B D A B C D x E Solución: 1) ECD ~ ABD(AAA) 8 24 18 EC  ED = 54 cm Rpta.: D 3. En la figura, L1 // L2 // L3. Si 3AB = 7BC, DE = 2.8 m y EF = 1.5 m, halle x. A) 30° B) 37° C) 45° D) 53° E) 60° Solución: 1) L1 // L3 : mELF = 90° L2 // L3 : mEFL = x 2) Teorema de Thales : 3 2.8 7 EL a a  , EL = 1.2 cm 3) ELF: Notable de 37° y 53° x = 53° Rpta.: D A C B D E 4. En la figura, AD = DC, 2BC = 3AB, BE = 12 cm y EF = 4 cm. Halle DF. A) 36 cm B) 40 cm C) 32 cm D) 30 cm E) 48 cm Solución: 1) BAD: Teorema Bisectriz interior x 4 12 b a2   2) BCD: Teorema Bisectriz interior x 16 b a3  3) De (1) y (2): x = 32 cm Rpta.: C 5. En la figura, MN// AC , BM = 3AM = 1.2 m y BC = 1.4 m. Halle AC. A) 1 m B) 1,6 m C) 0,9 m D) 8,5 m E) 9,5 m Solución: 1) I: Incentro ABC 2) MI // AD : Teorema de Thales 3 0.4 1.2 b a   3) ABC: Teorema del Incentro 3 x 3 b a   4) De (2) y (3): x = 1 m Rpta.: A 6. En la figura, ABCD es un romboide. Si B es punto medio de PC , AR = RD y QT = 9 cm, halle DT. A) 6 cm B) 8 cm C) 6,5 cm D) 5 cm E) 7,5 cm Solución: 1) PQB DQA(ALA) PQ = 9 + x PB = 2a 2) PTC DTR(AA) x = 6 cm Rpta.: A 7. En un triángulo ABC, se ubican los puntos Q , P y M en AB , AC y en la prolongación de AC respectivamente. Si BC // PQ , BC  QM = {N} ,7AQ = 11QB, 2BN = 7NC y QN = 14 cm, halle MN. A) 4,5 cm B) 6,5 cm C) 7 cm D) 8 cm E) 10 cm Solución: 1) 7AQ = 11QB  AQ = 11k , QB = 7k 2) PQ//BC: AP = 11a, PC = 7a 3) 2BN = 7NC  BN = 7b, NC = 2b 4) Teorema de Menelao: 11k.7b.y = 7k.2b.(18a + y) y = 4a 5) QP//NC: 7a 4a 14 x  entonces x = 8 cm Rpta.: D 8. En la figura, BM es mediana. Si AP = 4 cm y AC = 12 cm, halle BP. A) 1 cm B) 1,5 cm C) 2 cm D) 2,5 cm E) 3 cm Solución: 1) Teorema de Ceva: 4.a.6 = x.b.6 4 x b a  2) Teorema de la bisectriz interior: 12 4 x b a   3) De (1) y (2): x = 2 cm Rpta.: C 9. En la figura, 5AH = 3HC, BM = MC y AE = 18 cm. Halle EF. A) 6.6 cm B) 4 cm C) 5,5 cm D) 8 cm E) 6 cm Solución: 1) Thales: 5 3 MC MF  2) HBM ~ BEF: 5b 2b HM 2x  35 = HM A B C E F M  H  A B C E F M  H  3k 5k 18 2x 5x 2b 3b 5b  3) AFC ~ HMC: k5 k8 x5 x2 18    2x = 6 cm Rpta.: E 10. En la figura, 2DC = 7DE y AE = 4 cm. Halle CE. A) 15 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 10 cm E) 13 cm Solución: 1) T.D.A.: a2 4 = a7 4 a9  9a = 10  x = 10 cm Rpta.: D 11. En la figura, ABCD es un cuadrado. Si AM = MD y 3CQ = 5QD, halle RQ PR . A) 3 B) 2 3 C) 2 D) 3 E) 2 5 Solución: 1) T.B.I. (PCQ): 2 5 10 RQ PR   Rpta.: C A B E D C   A B E D C   4 90°  90°  2a 7a x A B C D P Q M R 6a 2 4a 3a 5a 4a 10a 8a 37° 53° 2 53° 2 53° 2 a A B C D P Q M R 12. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan la bisectriz interior AD , la mediana BM y la ceviana CE concurrentes. Si AB = 12 cm y BC = 16 cm, halle EB. A) 4,5 cm B) 5 cm C) 5,5 cm D) 7,5 cm E) 9 cm Solución: 1) Pitágoras: AC = 20 2) T.B.I.: 5 3 20 12 DC BD   3) T. Ceva: (12 – x)  6(10) = x(10)(10) Rpta.: A 13. En la figura, 3AH = 2HC, BM = MC y AE = 1.8 m. Halle EF. A) 0,3 m B) 0,4 m C) 1,5 m D) 0,45 m E) 0,2 m Solución: 1) Thales: 3 2 MC MF  2) HBM ~ BEF: 3b b HM x  3x = HM 3) AFC ~ HMC: 3k 5k 3x 1.8 x    1.8 + x = 5x  x = 0.45 cm Rpta.: D A B C E F M  H  2k 3k 1.8 x 3x b 2b 3b  A B C D M  3k = 6 E 5k = 10  10 10 12 16 A B C E F M  H  B C D E 120cm G x A 14. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH , M y N son los puntos medios de BH y HC respectivamente. Si BN = 2AM, halle mBCA. A) 30° B) 2 37 C) 2 53 D) 45° E) 60° Solución: 1) AHB ~ BHC (AA)  2 1 a2 a BC AB   2) ABC: Notable 53°/2 x = 2 53 Rpta.: C EVALUACIÓN Nº 8 1. En la figura, la escalera tiene las siguientes medidas, 6AB =3BC = 4CD = 3DE = 6EG. Halle x. A) 40 cm B) 56 cm C) 70 cm D) 60 cm E) 62,5 cm Solución: 1. Por dato 6AB = 3BC = 4CD = 3DE = 6EG = 12a 2. TEOREMA DE THALES 120 x 15a 7a  x = 56 cm Rpta.: B A B H C M N  a  x k 2a 2k 2. En la figura, halle la altura del edificio. A) 40/3 m B) 56/3 m C) 70/3 m D) 25/3 m E) 62/5 cm Solución: 1) ECD ABD(AAA) 6 10 5 AB  AB = 25/3 cm Rpta.: D 3. En la figura, G es baricentro del triángulo AHC. Si BE = 8 m y EG = 1 m, halle AC. A) 9 m B) 7 m C) 8 m D) 6 m E) 10 m Solución: 1) BGH ~ EHG: 1 2k 2k 9  k = 2 3  x = 6  2 3 = 9 m Rpta.: A A B C E H G A B C E H G  1 k 2k    P x = 6k A B C D E 10 m 10 m 4. En la figura, BD = CE, BN = 4 m y DE = 2EF. Halle BC. A) 16 m B) 18 m C) 12 m D) 14 m E) 20 m Solución: 1) T.B.I.: (BAC) 2) 4 x 4 AC AB   3) T. Menelao: b(x – 4)k  a = 4k  b  3a x = 16 m Rpta.: A 5. En la figura, BC// AD //PT , AD = 10 cm, AP = 2 cm y BP = 3 cm. Halle QC. A) 2 3 cm B) 3 2 cm C) 2 2 cm D) 4 cm E) 5 cm A B C D E F N   A B C D E F N   b 4k (x 4)k 2a a 4 x 4 b Solución: 1) AD // BC : mCAD =  2) BC // PQ : Teorema de Thales AQ = 2k, QC = 3k 3) ACD: Notable de 45° k = 2 4) Luego : QC = 3 2 cm Rpta.: A 6. En la figura, FD = DE, AB = 10 m, BC = 8 m y CD = 14 m. Si mBFD = mBED = 90°, halle AC. A) m 2 7 B) m 3 7 C) m 2 5 D) m 3 E) m 2 3 Solución: 1) BD : Bisectriz del FBE 2) T.B.E. (ABC) 14 x 14 8 10    x = m 2 7 Rpta.: A A B C D E F A B C D E F     x 14 8 10

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