SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TEORÍA DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf
Thales de Míleto tuyo que soportar durante años las burlas de quienes pensaban que sus investigaciones eran inútiles , pero sus estudios de los astros le sirvieron para saber antes que nadie que la siguiente cosecha de aceitunas sería magnifica y por eso compró todas las prensas de aceituna que había en Míleto y Quíos. Esto le permitió amasar una gran fortuna.
OBJETIVOS :
• Conocer el significado geométrico de semejanza de figuras y en particular de triángulos.
• Relacionar figuras que guardan relaciones comunes.
• Interpretar los teoremas que se enuncien en la resolución de problemas.
• Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en la resolución de ejercicios.
• Plantear correctamente la proporción utilizando las longitudes de los segmentos, al aplicar la semejanza.
• Ubicar los elementos homólogos y hacer las relaciones que existen entre ellos
• Diferenciar entre congruencia y semejanza de triángulos.
Triángulos semejantes Son dos triángulos que tienen sus ángulos respectivamente de igual medida (ángulos homólogos) y sus lados homólogos proporcionales. Lados Homólogos: Se denominan así a los lados que se oponen a ángulos congruentes, en triángulos semejantes. CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS CASO I : Dos triángulos son semejantes si tienen al menos dos ángulos respectivamente de igual medida. CASO II : Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo de igual medida y los lados que determinan a dichos ángulos proporcionales. CASO III : Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS I. DEFINICIÓN Son dos figuras geométricas que tienen igual forma y tamaños distintos. En dos figuras semejantes existe una correspondencia biunívoca (correspondencia uno a uno) entre sus puntos, de modo que a los puntos que se corresponden se les denominan puntos homólogos y a los segmentos que se corresponden se les denominan segmentos o líneas homólogas. En dos figuras semejantes sus líneas homólogas son proporcionales. En el gráfico, se muestran dos figuras geométricas semejantes. A y A’: puntos homólogos AC y A 'C ' lados o líneas homólogas. Se cumple: a m R k b n r k: Constante de proporcionalidad o razón de semejanza. : Símbolo de semejanza (se lee: es semejante a). II. CONCEPTO Son dos triángulos que tienen sus ángulos respectivamente de igual medida y además sus lados homólogos proporcionales. En el gráfico, ABC MNL Se cumple: • Las medidas de sus ángulos son respectivamente iguales. • Sus lados homólogos son proporcionales, es decir: a b c k m n A. Postulado Dos triángulos son semejantes si tienen al menos dos ángulos respectivamente de igual medida. En el gráfico, si: m BAC = m FEG y m ACB = m EGF Se cumple: ABC EFG B. Teorema I Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo de igual medida y los lados que determinan a dichos ángulos respectivamente proporcionales. En el gráfico, si m BAC = m NML y c b k n Se cumple: ABC MNL DESARROLLO DEL TEMA C. Teorema II Dos triángulos son semejantes si sus lados son respectivamente proporcionales. En el gráfico, si: a b c k m n Se cumple: ABC MNL D. Propiedades • Una recta secante a un triángulo paralela a uno de sus lados, determina un triángulo parcial semejante al triángulo dado. En el gráfico, si: PQ / / AC Se cumple: PBQ ABC • En todo triángulo acutángulo, el segmento que une los pies de dos alturas determina un triángulo parcial semejante al triángulo dado. En el gráfico, ABC acutángulo se cumple: QBP ABC • En dos triángulos semejantes sus líneas homólogas son proporcionales. En el gráfico, ABC MNL Se cumple: ABC MNL a b c H r R 2p k m n h x y 2p 2p: perímetro Observación En el ABC; BP: ceviana interior Si: m ABP = m ACB Se cumple: x2 mn Exigimos más! Problema 1 La figura mostrada ABCD es un rectángulo. Si CP = 8 m, DP = 4 m, EF = 6 m, entonces el valor de AD es: UNI 2012-I A) 46 m 3 B) 15 m C) 43 m 3 D) 14 m E) 49 m 3 Resolución: Ubicación de incógnita Piden: AD = x Operación del problema BEA PEC BE 3 BE 3K EP 2K EP 2 EFP BQP BQ 5K BQ 15m 6m 2K BAQ: AQ = 9 m BAQ PDQ QD 4m QD 16 m 12m 9m 3 Conclusiones y respuesta Del gráfico: x 9m 16 m 3 x 43 m 3 Respuesta: C) 43 m 3 Problema 2 En un rectángulo ABCD, M y N son puntos medios de los lados BC y CD respectivamente, tales que AM = 2 2 cm y BN = 17 cm. Si P es el punto de intersección de los segmentos AM y BN, entonces el valor de PM + PN en cm es: UNI 2011-II A) 2 2 17 5 B) 2 2 2 17 5 C) 3 2 17 5 D) 2 2 3 17 5 E) 3 2 3 17 5 Resolución: Ubicación de incógnita Sea: PM = x PN = y Piden: x + y Análisis de los datos o gráficos AM = 2 2 BN = 17 Operación del problema MN: Base media BCN SN: Base media MCDA MN = a SN = 3b Por de x a 1 2 2 a 4a 5 x = 2 2 5 y 3b 3 17 2b 3b 5 y = 3 17 x y 2 2 3 17 5 5 Respuesta: D) 2 2 3 17 5 Problema 3 ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio r y circunscrito a una circunferencia de radio R. Si BD interseca a AC en I, 3BI = AI y AB + CD = a cm (a > 0), calcule la longitud (en cm) de BC. UNI 2011-I A) a 2 B) a 3 C) a 4 D) a 5 E) a 6 Resolución: Ubicación de incógnita Piden; BC = x problemas resueltos Análisis de los datos o gráficos AI = 3(BI) = 3 m AB + CD = a Hacemos: AD = y Operación del problema Teorema de Pitot Semejanza de triángulos Ángulos en la circunferencia Aplicando el teorema de Pitot: AB + CD = x + y x + y = a ...(1) Por ángulo inscrito: mBCI = mADB = además: mBIC = mAID = Reconocemos que: BIC AID x m y 3m y = 3x ...(2) Conclusión y respuesta Sustituyendo (2) en (1) 4x = a x a 4 Respuesta: C) a 4