Geometría problemas resueltos de secundaria y pre universidad

THALES Y PROPORCIONALIDAD EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf

PROBLEMA 1 :
En  un  triángulo  ABC;  AB = 6; BC = 9 y AC = 10. Se traza la bisectriz interior BD y la exterior BE. Hallar “ED”.
A)22      B)24       C)23        D)25      E)18

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  • INTRODUCCIÓN: El hombre desde que empezó a tener las nociones de cantidad, número y medida; comenzó a realizar ciertas comparaciones con ellas. También observó que en la naturaleza se daban cambios de tamaños en una cierta proporción , por ejemplo , los animales y seres humanos mostraban crecimiento de sus extremidades y otras partes de su fisonomía de manera proporcional. Además, en otras ramas de la ciencia como la física y química los diversos fenómenos que se estudian hay presencia de la proporcionalidad por ejemplo: la variación espacio-tiempo, la proporción determinada de compuestos en una mezcla, etc; todo ello contribuyó al desarrollo. También, así como en la sociedad se da la semejanza de ideas , la semejanza de sucesos; la geometría toma estos conceptos y lo aplica a las formas geométricas, donde principalmente se da la comparación de líneas y es así como se logra el desarrollo de la agrimensura (distribución y medida de terrenos o medida de distancias inaccesibles), construcción, geodesia. astronomía. el arte, etc. Teorema : En un triángulo , las bisectrices de un ángulo interior y de su correspondiente (o adyacente) ángulo exterior; dividen armónicamente al lado opuesto a dicho ángulo.
    Geometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 08 1. En la figura, BQ // CD, BH = 4 m y HC = 2 m. Halle PQ. A) 6 m B) 8 m C) 4 m D) 10 m E) 12 m Solución: • ABC: TH // AB, T. Thales  AT = 2TC •  ACD: TQ // CD, T. Thales AQ = 2QD = 12  6 + x = 12  x = 6 Rpta.: A 2. En la figura, O es centro, BC = 2AB y MN = 4 m. Halle OD. A) 6 m B) 8 m C) 9 m D) 10 m E) 12 m T Solución: • AP // BH // CQ , T. Thales HQ = 2PH = 2a • HN // DQ , T. Thales DN = 2NP = 12 O centro  18 x9 2  Rpta.: C 3. En la figura, T es punto de tangencia, BC = 10 m y 5AD = 2CD. Si mAB = 2mBCT, halle AB. A) 4 m B) 5 m C) 6 m D) 7 m E) 3 m Solución: • TBC:mQTB     mQTA   • ABC: TBI x 2k 10 5k  x = 4 Rpta.: A 4. En un cuadrado ABCD, se traza el cuadrante ABC, la prolongación del radio BQ interseca a CD en P, H es un punto de AD tal que,   mQHD 90 y   AP QH F   . Si QF = 8 m y AH = 4HD, halle PQ. A) 6 m B) 8 m C) 10 m D) 12 m E) 16 m Solución: • FH // PD , T. Thales AF = 4FP • FQP: TBE    x 5b 8 4b x 10 Rpta.: C 5. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan la altura BH y la ceviana AP las cuales se intersecan en Q. Si  mQBP 2mPAC y AC = 2PC, halle mPAC. A) 15° B) 37 2  C) 45 2  D) 53 2  E) 30° Solución: •  QBP : isósceles QP = BP • BHC: T. Menelao b AH QH2b AH = 2QH • AHQ: notable   53 x 2 Rpta.: D 6. En la figura, A y B son puntos de tangencia, los triángulos ABC y APB son semejantes y mAC = 160°. Halle mAB. A) 80° B) 120° C) 140° D) 160° E) 100° Solución: • Dato: ABC ~ APB~ mABC mAPB  80 • A y B puntos de tangencia  x + 80° = 180°  x = 100° Rpta.: E 160° 7. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, P es un punto de AB y Q de BC. Si mPB = mBQ= mQC,   PQ AB M ,   AQ BC N , AM = 4m, AN = 6m y AC = 8 m, halle AP. A) 2 m B) 1 m C) 4 m D) 3 m E) 6 m Solución: • APM ~ ANC x4 68  x = 3 Rpta.: D 8. En la figura, I es incentro del triángulo ABC y Q es incentro del triángulo DBE. Si BQ = 9 m y QI = 3 m, halle IN. A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 6 m Solución: • EBD~ CBA 9 12 3 x  x = 4 Rpta.: C 9. La figura ABCD representa un terreno, AB PQ 3  . Si el propietario desea construir una pared representada por PC , el costo es S/. 210, halle el costo para construir la pared representada por BC . A) S/. 240 B) S/. 360 C) S/. 315 D) S/. 280 E) S/. 420 Solución: • ABT ~ QPC BT a 3  • BTC: notable (30° y 60°) BC = 2a  El costo total es S/. 420 Rpta.: E 10. En la figura, 5BP = 3PC y AG = 6 m. Halle GD. A) 8 m B) 9 m C) 10 m D) 12 m E) 18 m Solución: • ABC : T. Ceva EB 3 AE 5  • BEF ~ BAD 3a 6 8a 6 x    x = 10 Rpta.: C 11. En la figura, ABCD es un paralelogramo, BP = PC y QL = 4m. Halle BL. A) 8 m B) 12 m C) 10 m D) 18 m E) 16 m 6 3a 3k 5k x 5a b b Solución: • AB // LD , T. Thales x = 2(4)  x = 8 Rpta.: A 12. En un triángulo acutángulo ABC, la altura BH y la ceviana AQ se intersecan en P, tal que AB = 3 AP, y   mHBC 2mPAC 2mABH. Halle mQAC. A) 15° B) 37 2  C) 53 2  D) 45 2  E) 30° Solución: • PBQ  : isósceles PT TQ • ABT: TBI BT = 3PT • PTB: notable  37 2   Rpta.: B 13. En la figura, ABCD y PQRD son cuadrados. Si CR = a y RD = b, halle TR. A) ab B) 2b a C) 2a b D) a b 2  E) a b a Solución: • APQ~ TRC x a a b   2 a x b  Rpta.: C 2a 14. En la figura, O es centro y AB = 2BC. Si BD = 8 m y BE = 6 m, halle AC. A) 6 3 m B) 6 6 m C) 4 3 m D) 8 m E) 4 6 m Solución: • ADB ~ ECB  28 6  26  AC 6 6 Rpta.: B EVALUACIÓN Nº 8 1. En la figura, ABCD es un cuadrado y POQ es un cuadrante. Si BT  TD 3 y QS = 6 m, halle AQ. A) 3m B) 3 2 m C) 6 m D) 6 3 m E) 12 m Solución: • QTD: exinscrito      90 mQTD 45 2 • AB // TQ // DS, T. Thales x b 3 6 b   x  6 3 Rpta.: D 2 2. En un triángulo ABC (AB > BC), se traza la bisectriz exterior BE , la recta paralela a BC trazada por el punto medio M de AC interseca a AB en Q y a la prolongación de EB en P. Si PQ = 6 m y MQ = 4 m, halle AC CE . A) 1 2 B) 1 3 C) 1 D) 2 E) 3 4 Solución: • ABC : TBE  2b a 12 a8   a = 4b  AC 1 CE 2  Rpta.: A 3. En la figura, G es baricentro del triángulo ABC y AB = 9BQ. Halle x A) 37° B) 45° C) 60° D) 53° E) 30° Solución: • MBC: T. Menelao            9 m b 2 b b b 2 m = 11b • ABC notable de 37° y 53° x  53 Rpta.: D 4. La figura ABCD representa a una playa de estacionamiento, cuya entrada es por QD y AP AD DR BP 12 6 2 3    . Si José cobra S/. 60, por pintar la pared representada por AD.¿Cuánto cobrará José por pintar todo el local? A) S/. 420 B) S/. 360 C) S/. 300 D) S/. 390 E) S/. 450 Solución: • PAR ~ QDR  QD = 3a • Del enunciado 6a  S/. 60 39a  x x = 390 Rpta.: D 5. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AD y CE las cuales se intersecan en I. Si los triángulos EBI e IBD son semejantes, halle mABI . A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53° Solución: • Dato EBI ~ IBD mBEI mBID   •  EBI : por ángulo externo mDIC =  • Por par lineal en I 90     180  45    Rpta.: B 6. En la figura, E es excentro del triángulo ABC. Si AB = 5 m y BC = 12 m, halle PQ. A) 25 m 3 B) 25 m 4 C) 25 m 6 D) 20 m 3 E) 26 m 3 Solución: • QPC: E excentro 5 12 13 PC 15 2      • QPC: ~ ABC x 15 5 12   25 x 4  Rpta.: C 2a

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