ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA PDF

OBJETIVOS : 
• Aprender a calcular de manera correcta el área de un círculo. 
• Conocer algunas propiedades sobre áreas de regiones circulares. 
• Aplicar las propiedades principales de las regiones triangulares y cuadrangulares en el cálculo de las regiones circulares. 

INTRODUCCIÓN : 
Las formas circulares abundan principalmente en los paisajes naturales, podemos observar, semillas, huevos, troncos de arboles, hojas, flores, e incluso las formas circulares que se forman en sus cuerpos de agua. 
También existen edificaciones circulares como bóvedas, estadios, etc., es necesario conocer las fórmulas que nos permitan calcular las áreas circulares.
EJERCICIO 1 : 
Un sector circular de radio 6 cm y ángulo central de 30° tiene un área de: 
a) 𝛑 cm² 
b) 2𝛑 
c) 3𝛑 
d) 4𝛑 
e) 6𝛑 
EJERCICIO 2 : 
Hallar el área de un círculo, sabiendo que el diámetro de dicho círculo mide 12 m. 
a) 144𝛑 cm² 
b) 72𝛑 
c) 36𝛑 
d) 48𝛑 
e) 24𝛑 
EJERCICIO 3 : 
Un sector circular tiene un ángulo central de 45° y su área es 2𝛑u². Calcular el radio. 
a) 2 u 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6
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Un sistema de riego de Pivote central es un sistema de aspersión automático que pivota alrededor de un punto central, lo que da lugar a los círculos de las cosechas.
REGIONES CIRCULARES 
Aplicando lo aprendido Del gráfico calcule la diferencia de áreas de las regiones sombreadas. 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 
Piden: 𝐴 − 𝐵 𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝐴 + = 𝜋82 Restamos 𝐵 + = 𝜋52 𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝐴 − 𝐵 = 64𝜋 − 25𝜋 ∴ 𝑨 − 𝑩 = 𝟑𝟗𝝅 SECTOR SECTOR CIRCULAR Es una porción del circulo comprendido entre dos radios Por ejemplo del siguiente gráfico calculemos el área del sector CASOS PARTICULARES: 𝑅 𝑅 𝑅 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝔸 = 𝜋62(70°) 360° 𝑅 36𝜋 70° 𝔸 = 𝑅 𝜋𝑅2 2 𝔸 = 𝜋𝑅2 3 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝔸 = 𝜋𝑅2(𝜃) 360° 𝔸 = ∴ 𝔸 360° = 𝟕𝝅 𝑅 𝔸 =𝜋𝑅2 4 𝑅 𝔸 = 𝜋𝑅2 6 Aplicando lo aprendido Si AD=6, DC=3. Calcule el área de la región sombreada. C 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Sea S el área de la región sombreada E C 6 Nos piden: 𝑆  Por el vértice B, trazamos la perpendicular BH.  ⊿𝐴𝐻𝐵: Notable de 30° y 60° 𝑚∡𝐵𝐴𝐻 = 30° 3  Como el ángulo central del A D sector mide 60°, podemos calcular dicho sector como la 𝐴)6𝜋 𝐵)5𝜋 𝐶)9𝜋 𝐷)12𝜋 A H D sexta parte de un círculo. 6 𝜋62 𝑆 = 6 ∴ 𝑺 = 𝟔𝝅 
SEGMENTO SEGMENTO CIRCULAR Región de un círculo comprendida entre un arco y la cuerda que los subtiende. Aplicando lo aprendido Del gráfico calcule el área de la región sombreada. 4 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 
Nos piden: 𝔸𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎= 2B 𝐵 = 𝔸 − 𝔸 𝐷𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝐵 = 𝜋42 4 − (4)(4) 2 4 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝔸 = 𝔸 − 𝔸 𝐵 = 4𝜋 − 8 ∴ 2𝐵 = 8𝜋 − 16 CORONA CORONA CIRCULAR Es la zona comprendida entre las circunferencias de dos círculos concéntricos. Aplicando lo aprendido La figura muestra una mesa de trabajo semicircular. Si los diámetros 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 miden 180cm y 90cm, respectivamente, halle el área de la superficie de dicha mesa. 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: 𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛 el área de la semicorona: 𝐴𝑠 𝑇 𝑛 180 𝜋(𝑅2 − 𝑟2) 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑟 𝐷 𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑅 𝑇: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 90 𝐶 𝐵 𝐴 45 90 𝐴𝑆 = 𝐴𝑆 = 2 𝜋(902−452) 2 𝔸 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2) 𝔸 = 𝜋(𝑛2) ∴ 𝑨𝑺 = 𝟔𝟎𝟕𝟓𝝅 𝒄𝒎𝟐 𝟐 RELACIÓN DE ÁREAS TEOREMA 1 TEOREMA 2 DEMOSTRACIÓN: En una región cuadrantal En una región cuadrantal Se cumple: Se cumple: • Notamos que por teorema 1 𝕄 = ℕ ℂ = 𝔹 𝔻 + ℂ = 𝔹 + 𝔻 ∴ ℂ = 𝔹
Del gráfico: A y C son centros. Calcular Sx. (Sx: área de la región sombreada) En el gráfico: y . Calcule el área de la región sombreada. En el gráfico se muestran 3 semicircunferencias con diámetros AB, BC y AC. Siendo , calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas. (P y Q son puntos de tangencia). En la figura mostrada el radio de la circunferencia inscrita en el DABC es 4u. Calcular el área de la región sombreada. A)(3p + 4)u2 B)2(p – 2) C)4(p – 2) D)3(p –2) E)5(p – 2) En un triángulo ABC se trazan las alturas BH y AF; luego con diámetro se traza una semicircunferencia de centro O la cual interseca a en P. Si mABC=75° y HF=6, calcule el área del sector circular FOP. Según el gráfico calcule el área de la región sombreada si PB=4m. a)8pm2 b)16p c)2p d)10p e) 4p En el gráfico, y AM=. Calcule el área de la región sombreada. Calcular el área de la corona circular. A)2 B)8 C)4 D)6 E)16 Calcular el área del sector circular CDE, si ABCD es un cuadrado de lado . A y D son centros de los arcos BD y AC. A) B)2 C)3 D)6 E)12 Calcular el área del círculo si: PA=+2 A) B)2 C)4 D)8 E) Calcular el área del segmento circular. A)–1 B)–4 C)– D)–2 E)2–1 En la figura que se muestra calcular el área sombreada si: , H es punto de tangencia, AH = 2 cm y HC = 8 cm. a)2p cm2 b)2,5p c)3p d)3,5p e)4p En la figura: es diámetro y O es centro. Calcular el área del círculo sombreado si: AB = 10, (AL) (LP) = 9 cm2.

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