Geometría problemas resueltos de secundaria y pre universidad

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES FÓRMULAS Y PROPIEDADES DE GEOMETRIA MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA pdf

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  • POSTULADO DE LA UNIDAD : El área de una superficie limitada por un cuadrado de lado una unidad es igual a una unidad cuadrada. Postulados : - Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región. - El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones componentes em el cual puede dividirse. -Si dos polígonos son congruentes, entonces las regiones poligonales correspondientes tienen la misma área. ÁREA DE REGIONES PLANAS REGIÓN PLANA : Es una porción de plano limitado por una línea cerrada. Área de una región plana : Es la medida de una región plana, se toma como unidad de comparación al área de una región cuadrada cuyo lado tiene por longitud a la unidad. Regiones equivalentes Son regiones planas que tienen igual área. Sus formas no son necesariamente iguales ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES Es una región plana cuyo contorno es un triángulo. Estudiaremos, ahora las principales fórmulas para el cálculo de áreas de las regiones triangulares. FÓRMULA GENERAL : El área de una región triángular es igual al semi producto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado. cálculo del área de una región triAngular en función de la longitud de sus lados : (fórmula de Herón) El área de una región triángular es igual a la raíz cuadrada del producto del semiperímetro de la región triangular y la diferencia de dicho semiperímetro con la longitud de cada uno de los lados. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA : El área de una región triangular es igual al semi producto de las longitudes de dos lados, multiplicado con el seno del ángulo determinado por dichos lados. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DEL LADO : El área de un triángulo equilátero es igual a la cuarta parte del cuadrado de la longitud de su lado por la raíz cuadrada de 3. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DE LA ALTURA : El área de un triángulo equilátero es igual a la tercera parte del cuadrado de la longitud de su altura por la raíz de 3. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SU INRADIO : El área de un triángulo es igual al producto de su semiperímetro con el inradio del triángulo correspondiente. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SU CIRCUNRADIO : El área de una región triangular es igual al cociente del producto de las longitudes de sus tres lados con el cuádruplo de su circunradio. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SU EXRADIO : El área de una región triangular es igual al producto de la diferencia entre el semiperímetro y un lado cualquiera por el radio de la circunferencia ex-inscrita correspondiente a ese lado. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR EN FUNCIÓN DE SUS EX-RADIOS Y SU INRADIO : El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de los radios de las circunferencias inscritas y ex-inscritas. FÓRMULAS ADICIONALES TEOREMA : El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos que la circunferencia inscrita determina sobre la hipotenusa. TEOREMA : El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos que la circunferencia ex-inscrita a la hipotenusa determina sobre dicha hipotenusa. TEOREMA : El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de las longitudes de los segmentos que la circunferencia ex-inscrita relativa a uno de los catetos determina sobre la hipotenusa. RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE LAS REGIONES TRIANGULARES i) Si dos regiones triangulares tienen un lado de igual longitud, sus áreas serán proporcionales a las longitudes de sus alturas relativas a dichos lados. ii) Si dos regiones triangulares tienen una de sus alturas de igual longitud, sus áreas serán proporcionales a las longitudes de los lados a los cuales son relativas dichas alturas. iIi) Si dos regiones triangulares tienen uno de sus ángulos de igual medida o suplementarios, se cumple que sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan a dichos ángulos. mas PROPIEDADES 1) En todo triángulo se trazan las tres medianas y se determinan seis regiones equivalentes. 2) En todo triángulos si se une el baricentro con sus tres vértices se determinan tres regiones parciales equivalentes . ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES I. REGIONES POLIGONALES Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión de un triángulo y su interior. Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento. Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican cómo se podría representar cada una de las dos regiones poligonales mediante tal reunión. Las regiones triangulares de cualquier descomposición asi se llaman regiones triangulares componentes de la región poligonal. A. Postulados - Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región. - El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones componentes en la cual puede dividirse. - Si dos polígonos son congruentes, entonces las regiones poligonales correspondientes tienen la misma área. A continuación se presentan una serie de fórmulas para calcular el área de diversas regiones triangulares. B. Teoremas 1. El área de toda región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado. Sea: AABC : área de la región triangular ABC. A C B h a ABC A a.h  2  A B C a b ABC A a.b 2   A C h a B ABC A a.h 2   Demostración h A B C a D • Sea A  ABC = A por B y D se trazan paralelas a AD y AB , tal que: ABCD: Paralelogramo. DESARROLLO DEL TEMA Entonces •  ABD   BDC, entonces AABD  ABDC  A Luego A(ABCD) = AABD  ABDC  2A A(ABCD) = 2A ........(1) Por un postulado del área de la región paralelográmica es: A(ABCD) = ah ........ (2) De (1) y (2) 2A = ah A ah 2   2. Fómula trigonométrica El área de una región triangular, es igual al semiproducto de las longitudes de los lados del triángulo multipilicado por el seno de la medida del ángulo comprendido por dichos lados. A B C  b a ABC A a.b sen  2   Demostración a sen A B C  H b a Se traza la altura BH, en ABH. BH = aSen ... (1) Sabemos ABC A (AC)(BH) 2   Reemplazando en (1) obtenemos: ABC A (b)(asen ) 2    ABC A ab Sen 2     C. Otros teoremas Para calcular el área de una región triangular en términos de otros elementos asociados al triángulo. 1. El área de una región triangular es igual al producto del semiperímetro y su inradio. r A C B a b c sea: p: semiperímetro de la región ABC p a b c  2    r: inradio del triángulo ABC AABC  p.r 2. Teorema de Arquímides El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada de los productos del semiperímetro restado de la longitud de cada lado. B A c C a b Sea: P: semiperímetro p a b c 2    AABC  p(p  a)(p  b)(p  c) 3. El área de una región triangular es igual al producto de las longitudes de los tres lados dividido por cuatro veces es circunradio. A c C B b R a ABC A abc  4R  R: Circunradio del triángulo ABC. 4. El área de una región triangular es igual producto del semiperímetro restado en un lado con el exradio relativo a dicho lado. AT: Semiperímetro de ABC AT = P r: exradio relativo a BC  AABC  (p  a)r 5.  B A m T n C Según el gráfico, T es punto de tangencia. Entonces:   A ABC m.nCot  2   II. TEOREMAS PARA RELACIONAR LAS ÁREAS DE DOS REGIONES TRIANGULARES A. Teoremas 1. B A C a N b En la figura BN: Ceviana relativa a AC ABN NBC A a A b    B A C m N m En la figura, BN: Mediana Entonces: AABN ABNC 2. Q b b a a P B C S 3S A En la figura; P y Q: puntos medios Entonces: A APQC=3A PBQ 3. • c c S a a b b P Q A G A A A A A G: Baricentro de la región triangular ABC A A ABC 6   4. m m P • B A C S Q N A B Si BP: Mediana y QBP A, B, N y S: Área de regiones mostradas. Entonces: A  B  S  N 5. Si dos triángulos son semejantes entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los cuadrados de sus líneas homólogas. Si ABC  MNL , entonces: 2 2 ABC 2 MNL 2 2 S AC BH ... k S ML NF     Siendo "k" la razón de semejanza. 6. Si dos triángulos tienen ángulos congruentes o suplementarios, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los productos de las medidas de los lados que forman dichos ángulos. Si: ABC DEF S AB.BC S EF.DF      Si: MNL PQR S MN.NL 180 S PQ.PR        Problema 1 Hallar el área de la región triangular QTC; ABCD es un cuadrado de lado 4 m (T es punto de tangencia). UNI Nivel fácil A) 1,2 m2 B) 1,4 m2 C) 1,5 m2 D) 2 m2 E) 2,2 m2 Resolución: Piden S, se observa: S 1 x 3 sen53 2   S 6 5   S  1, 2m2 Respuesta: A) 1,2 m2 Problema 2 En la figura AB = 2, BC = 3. Hallar el área de la región triangular AOC (T, B y Q son puntos de tangencia). UNI Nivel intermedio A) 10 B) 16 C) 15 D) 20 E) 25 Resolución: Piden: AAOC  Sx Sx 5 x R 2  Pero: OTMQ: Cuadrado Luego: AMC: Pitágoras (R – 2)2 + (R – 3)2 = 52 R = 6 Sx 5 x 6 15 2    Respuesta: C) 15 Problema 3 En un triángulo ABC; se traza la mediana BM y en BC se toma el punto P. Hallar el área del triángulo BMP, si el área del triángulo ABP es 18 m2. UNI Nivel intermedio A) 8 B) 10 C) 12 D) 18 E) 9 Resolución: Piden: ABPM  x Se observa: AABC  18  2 S... I También: BM: mediana  AABM  AMBC AABM  x  s Entonces: AABC  2x  2s ... II Igualando: I y II 2x  2 s  18  2 s x= 9 Respuesta: E) 9 problemas resueltos

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