CILINDRO-GEOMETRIA DEL ESPACIO EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA PDF
PREGUNTA 1 :
Calcular el diámetro de un cilindro de revolución cuya generatriz mide 10 y su volumen es igual a 40𝜋.
a) 3
b) 2
c) 6
d) 4
e) 8
PREGUNTA 2 :
Calcular el volumen de un cilindro recto inscrito en un prisma cuadrangular regular de 10m de alto, si la diagonal de la base mide 12√2
a) 150𝜋 m³
b) 300𝜋
c) 120𝜋
d) 180𝜋
e) 360𝜋
PREGUNTA 3 :
¿Cuántos metros cuadrados de hierro se necesitan para hacer un tubo de 4,5m de largo y 20m de diámetro? (use: 𝜋 = 3,14)
a) 282,6m²
b) 196,4
c) 141,3
d) 251,2
e) 136,4
PREGUNTA 4 :
Un vaso cilíndrico de diámetro “d” y altura “h” está lleno de agua. Si se vierte el contenido en otro vaso de diámetro “2d”, ¿hasta qué altura subirá el agua?
a) h/4
b) h/2
c) h/3
d) 3h/8
e) h/ 8
PREGUNTA 5 :
Calcular el volumen de un cilindro recto, si la generatríz mide el doble del radio de su base, además el área de su superficie lateral es 64𝜋.
A) 72𝜋 𝑢³
B) 108𝜋 𝑢³
C) 144𝜋 𝑢³
D) 128𝜋 𝑢³
E) 135𝜋 𝑢³
PREGUNTA 6 :
Si el número que expresa el área de la superficie lateral de un cilindro recto y el número que expresa su volumen son iguales. Calcular la longitud del radio de la base.
A) 1,5
B) 2
C) 1
D) 2,5
E) 𝜋
Se define así a la superficie que se genera cuando una línea recta llamada generatriz, recorre todos los puntos de una línea curva plana denominada directriz, de tal forma que lo realiza siempre paralela a si misma.
Superficie cilíndrica cerrada
SUPERFICIE CILÍNDRICA
Planos paralelos
CILINDRO
La superficie cilíndrica generada en el gráfico mostrado es cerrada.
Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos paralelos y secantes a ella.
ELEMENTOS
Base
• Las bases en todo cilindro son paralelas y congruentes.
• Todas las generatrices tienen la misma longitud.
CILINDRO Altura Generatriz Superficie lateral Un cilindro es oblicuo, cuando sus generatrices son oblicuas a las bases. Un cilindro es recto, cuando sus generatrices son perpendiculares a las bases. Se cumple: Volumen 𝕍 = (𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆) La forma cilíndrica se pueden encontrar en muchos objetos de la realidad En un cilindro oblicuo, la longitud de la altura ℎ es menor que la longitud de la generatriz 𝑔 . En un cilindro recto, la longitud de la generatriz 𝑔 y de la altura ℎ son iguales. Eje de giro Cilindro de revolución o Del gráfico: cilindro circular recto 𝐴 • 𝑂1 y 𝑂2 son los centros de las bases. Región rectangular que generará al cilindro Ésta debe de girar 360° en torno al eje de giro Genera 𝑂1 𝑟 𝐵 𝑔 𝐷 𝑟 𝑂2 𝐶 • 𝑂1𝑂2 es el eje del cilindro. • 𝐴𝐵𝐶𝐷 es la sección axial. • 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 son generatrices diametralmente opuestas NOTA 𝑅 𝑔 = 2𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 En un cilindro circular recto, de radio 2 𝑐𝑚 y altura 6 𝑐𝑚, se inscribe un paralelepípedo rectangular. El máximo volumen 𝑒𝑛 𝑐𝑚3 que puede tener tal paralelepípedo es: Resolución: Nos piden 𝕍𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐(𝒎á𝒙) • Calculemos el volumen 𝕍𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒆𝒑í𝒑𝒆𝒅𝒐 = 𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 𝟔 • Notamos que el volumen depende del área de 𝐴) 44 𝐵) 45 𝐶) 48 la base, analicemos: 𝔸𝑏𝑎𝑠𝑒 = 4 ∙ 4 𝑠𝑒𝑛𝛽 2 𝐷) 49 𝐸) 51 6 • Con ello: → 𝔸 𝑏𝑎𝑠𝑒 = 8𝑠𝑒𝑛𝛽 NOTA: Como el paralelepípedo es un prisma, podemos calcular su volumen como el producto del área de la base con la longitud de su altura. 𝕍𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = 48𝑠𝑒𝑛𝛽 • Como el volumen debe ser máximo, entonces 𝑠𝑒𝑛𝛽 debe ser máximo, con lo cual 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 1 𝔸𝑺.𝑳 = 𝔸𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝔸𝑺.𝑳 = 𝟐𝝅𝒓𝒈 Área de la superficie total 𝔸𝑺.𝑻 = 𝔸𝑺.𝑳 + 𝟐𝔸𝒃𝒂𝒔𝒆 2𝜋𝑟𝑔 𝜋𝑟2 𝔸𝑺.𝑻 = 𝟐𝝅𝒓 𝜽: Medida del diedro determinado por la base y la sección recta. Resolución: Nos piden 𝑩 El volumen de un cilindro oblicuo es 40𝜋 𝑐𝑚3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 𝑐𝑚. Si el radio de su sección recta mide 2 𝑐𝑚, calcule el área de la base en 𝑐𝑚2. Dato: 𝕍𝑐𝑖𝑙 = 40𝜋 Sección recta (S.R.) • Como tenemos de dato a la sección recta, podemos calcular la longitud de la generatriz, usamos: 𝕍𝑐𝑖𝑙 = 𝔸𝑆.𝑅. ∙ 𝑔 Base elíptica 𝑅 Base circular 𝑂2 𝑔𝑚: Generatriz menor 𝑔𝑀: Generatriz mayor Sección recta (S.R.) Base elíptica 𝑔𝑚: Generatriz menor 𝑔𝑀: Generatriz mayor Resolución: Nos piden 𝔸𝒑𝒆𝒍í𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒈𝒖𝒂 Un vaso que tiene la forma de un cilindro circular recto cuyo diámetro mide 6 cm, contiene agua hasta cierta altura. Se inclina el vaso justo hasta que el agua llegue al borde, en ese instante el borde opuesto del agua se ha alejado del borde del vaso 4 cm. Determine e área (en 𝑐𝑚2) de la película que se ha Grafiquemos la situación del vaso en la inclinación. 4 𝐶 • En ⊿𝐴𝐵𝐶: 𝐴𝐵 = 2 13 Longitud del eje mayor 3 • Además, tener en cuenta formado por la inclinación. 𝐴 𝐴) 𝜋 13 𝐵) 2𝜋 13 𝐶) 3𝜋 13 𝐷) 4𝜋 13 𝐸) 5𝜋 13 3 RECUERDA: 2 13 𝐵 Película de agua (región elíptica) que la longitud del eje menor de la región elíptica es igual al radio del círculo de la base. 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 6