DIEDROS Y TRIEDROS GEOMETRIA DEL ESPACIO FÓRMULAS Y PROPIEDADES pdf

ÁNGULO DIEDRO :
Es la figura geométrica formada por la unión de dos semiplanos que tienen en común su recta de origen a la cual se le denomina arista del ángulo diedro (Los semiplanos deben estar en distintos planos)
Notación:
Ángulo diedro ,
ángulo diedro 
: ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro.
q : medida del ángulo diedro.
A los semiplanos se les llama caras.
A la recta común se le llama arista.
Medida del ángulo diedro: por un punto de la arista del diedro se trazan dos rectas perpendiculares a la arista, cada una de las perpendiculares se encuentran en cada una de las caras.
“a” es el ángulo plano o rectilíneo de la medida del diedro.
Caras del diedro: "P" y "Q"
Arista: 
Ángulo diedro AB mide “a”:  d-AB = a
El plano que forman las dos perpendiculares se llama sección normal o rectilíneo del diedro.
PLANOS PERPENDICULARES :Dos planos son perpendiculares, cuando determinan un diedro que mide 90°.                                                                                
q : medida del diedro.
Si: 
PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO :
Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro y que determina con las caras otros dos ángulos diedros de igual medida.
Todo punto del plano bisector está a igual distancia de las caras de dicho ángulo diedro.
: Plano bisector del ángulo diedro.

Se cumple :
Diedros congruentes: dos diedros son congruentes cuando tienen igual medida.
Clasificación de los ángulos diedros :
Según su medida los ángulos diedros se clasifican en:
Diedro agudo: si su ángulo plano es agudo.
Diedro recto: si su ángulo plano es recto.
Diedro obtuso: si su ángulo plano es obtuso.
Diedro llano: si su ángulo plano es llano.
Como en la Geometría Plana, según su posición, los diedros también pueden ser: consecutivos, adyacentes y opuestos por la arista. También hay diedros complementarios (si sus ángulos planos suman 90°) y diedros suplementarios (si sus ángulos planos suman 180°).

ÁREA DE PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA FIGURA PLANA SOBRE UN PLANO DADO :
El área de la proyección ortogonal de una región plana sobre un plano dado, es igual al producto del área de dicha región con el coseno del ángulo diedro determinado por el plano de la región y el plano dado.
Si:
A : área de la región plana.
Ap : área de la proyección ortogonal de la región sobre el plano H.
q :medida del ángulo diedro determinado por los planos Q  y  H.
ÁNGULO POLIEDRO
El ángulo poliedro, ángulo sólido o anguloide, es la porción de espacio que se encuentra delimitado por tres o más ángulos planos no coplanarios que tienen el vértice común.
Elementos.
Vértice:es el vértice común de los ángulos planos.
Caras: son los ángulos planos.
Aristas: son los lados de los ángulos planos, cada arista pertenece a dos caras.
Diedros: son los ángulos diedros que forman los planos de dos caras contiguas.

Si fijas tu atención en la habitación en que te encuentras puedes observar cómo dos paredes contiguas, junto con el techo, se encuentran en un punto. El espacio alrededor de ese punto y comprendido entre las paredes y el techo recibe el nombre de triedro.

En términos generales, se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un mismo vértice.
Al igual que en diedros, los ángulos poliedros tienen caras y aristas: Identifícalas tú mismo en la figura adjunta.
Según el número de diedros, el poliedro se llamará: triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro, etc., pudiendo ser cada uno de ellos de dos tipos: convexos o cóncavos, según que la sección producida al cortarlos por un plano sea un polígono convexo o cóncavo, respectivamente.
DEFINICIÓN :
Es aquella figura geométrica determinada por tres o más regiones angulares que tienen el mismo vértice, además dos regiones consecutivas deben estar en planos diferentes.
El punto común a todos los planos que limitan al ángulo poliedro recibe el nombre de VÉRTICE.
Las intersecciones de cada dos planos concurrentes consecutivos se denominan ARISTAS.
Los ángulos formados por cada dos aristas consecutivas se denominan CARAS y los diedros formadas por cada dos caras consecutivas se llaman DIEDROS del ángulo poliedro.
Elementos:
Vértice :  O
Aristas : .......
Caras
: a, b, c, d, ...
Diedros : a, b, f, q...
Notación: ángulo poliedro O-ABCD
Se designa un ángulo poliedro por la letra del vértice seguida de las letras relativas a las diferentes aristas o simplemente por la letra del vértice cuando no puede haber ambigüedad alguna.
En todo ángulo poliedro la suma de las medidas de sus caras es mayor de 0° y menor de 360°.
CLASIFICACIÓN :
Según sea el número de caras si tiene 3 caras, el ángulo poliedro se llama ángulo triedro, si tiene 4 caras se llama ángulo tetraedro, si tiene 5 caras se llama ángulo pentaedro, si tiene 6 caras se llama ángulo hexaedro, etc.
Cuando el número de caras es tres se puede suprimir la palabra ángulo y llamar simplemente triedro pero si es más de tres no se puede suprimir la palabra ángulo, porque existen cuerpos geométricos llamados tetraedros, pentaedros, hexaedros,...los cuales podrían confundirse.
De todos los ángulos poliedros el más importante es el TRIEDRO.
ÁNGULO TRIEDRO 
El triedro es un ángulo poliedro de tres caras. ES decir es aquel ángulo sólido que se determina por tres rayos concurrentes entre sí dos a dos.
Elementos:
Vértice: O
Aristas: , , 
Caras: a, b, c
Ángulos diedros: a , b , q
Notación: 
Ángulo triedro: O - ABC

Propiedades de un ángulo triedro :
I) En todo ángulo triedro la suma de los valores de sus caras es mayor que 0° pero menor que 360°.
     0° < a + b + c < 360°
II) En todo ángulo triedro el valor de una cara es menor que la suma de las otras dos pero mayor que la diferencia de ellas mismas.
     b – c < a < b + c
     a – c < b < a + c
     a – b < c < a + b
III) En todo ángulo triedro la suma de sus ángulos diedros es mayor que 180° pero menor que 540°.
    180° < a + b + q < 540°
Iv) En todo triedro la suma de los dos diedros es menor  al tercero aumentando en 180º
Teorema:
En todo ángulo poliedro la suma de las caras es menor que 360º y mayor que 0º.
Clases  de  ángulos triedros
I) Unirectángulo: Una cara mide 90°.
II) Birectángulo: Dos caras miden 90°.
III) Trirectángulo: Las tres caras miden 90°.
IV) Isósceles: Dos caras son de igual medida.
V) Equilátero: Las tres caras son de igual medida.
 En todo triedro a dos diedros desiguales se oponen caras desiguales, y a mayor diedro se opone mayor cara.  
 Si un triedro tiene dos caras iguales los diedros opuestos son también iguales.
 En todo triedro isósceles, el plano bisector del diedro comprendido entre las caras iguales, es perpendicular a la  tercera cara, y determina dos ángulos iguales. 
toma en cuenta :
Los ángulos triedros se clasifican según los siguientes criterios:
I) Por la comparación de las medidas de sus caras :
Triedro escaleno :
Es aquel que tiene sus tres caras de diferentes medidas.
Del gráfico , si 
Triedro: O–ABC: escaleno
además:    

Triedro isósceles :
Es aquel que tiene dos caras de igual medida a los cuales se oponen diedros congruentes.
Del gráfico , si 
Triedro: O–ABC: isósceles,
además:   
Primer criterio de congruencia : 
Dos triedros que tengan iguales una cara e igual  diedros adyacentes a dicha cara serán congruentes. 
Triedro O–ABC  triedro O'–A'B'C'.
Segundo criterio de congruencia : 
Dos triedros que tengan respectivamente iguales 2 caras e igual el diedro comprendidas por dichas caras serán congruentes.
 perpendicular a la cara  BOC
: bisectriz del BOC
Triedro equilátero :
Es aquel que tiene sus tres caras de igual medida y sus tres ángulos diedros congruentes.
Del gráfico , si:     a = b = c
 Triedro: O–ABC: equilátero,
además:   
Ii) Por el número de caras rectas (de medida igual a 90°) :
Triedro rectángulo
Es aquel que  tiene una cara que mide 90°.
 Triedro bi-rectángulo
Es aquel que tiene dos caras que miden 90°. A los cuales se oponen diedros que miden 90°.                               
Trirectángulo
Es aquel que tiene sus tres caras que miden 90°, entonces sus tres diedros miden 90°.
Tercer  criterio de congruencia  : Dos  triedros son congruentes si tiene sus tres caras iguales.
Triedro O–ABC  triedro O'–A'B'C'.
Cuarto criterio de congruencia  : Dos triedros son congruentes cuando tienen iguales los tres diedros.
Triedro O–ABC  triedro O'–A'B'C'.
TRIEDRO POLAR
O TRIEDRO SUPLEMENTARIO
Se llama triedro polar o suplementario de un tiedro dado aquel cuyas aristas son perpendiculares a las caras del otro.
si plano O’A’B’
 plano O’A’C’
 plano O’B’C’
luego el triedro  O-ABC se llama triedro polar o suplementario del triedro O’-A’B’C’
Teorema:
Cuando dos triedros son suplementarios o polares se cumple que las caras de uno de ellos son los suplementos de los diedros del otro triedro, y recíprocamente.

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