PIRÁMIDE GEOMETRIA DEL ESPACIO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICA DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA PDF
OBJETIVOS
✎ Conocer a la pirámide , sus elementos , características, así como sus fórmulas de área y volumen.
✎ Aprender sobre las pirámides regulares y sus particularidades.
✎ Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas .
PREGUNTA 1 :
Se tiene una pirámide regular cuyo apotema mide 20cm y la altura 16cm. Calcular el apotema de la base de dicha pirámide.
a) 15 cm
b) 18
c) 8
d) 6
e) 12
PREGUNTA 2 :
Una cuerda del círculo base de un cono recto de 4m de altura mide 8m. Si la distancia de la cuerda al centro del círculo base es 2m, ¿cuánto mide la generatriz?
a) 4 m
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
PREGUNTA 3 :
Calcular el número de caras que tiene una pirámide de 30 aristas.
A) 20
B) 30
C) 16
D) 36
E) 20
PREGUNTA 4 :
Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular si la diagonal de su base mide 8u y las aristas laterales toman su mínimo valor entero.
A) 64 𝑢³
B) 32
C) 48
D) 36
E) 54
PREGUNTA 5 :
En una pirámide cuadrangular regular, todas las aristas son congruentes y el área lateral es 36√3 𝑢³. Calcule el volumen de la pirámide.
A) 9√2 𝑢³
B) 12√2 𝑢³
C) 24√2 𝑢³
D) 36√2 𝑢³
E) 72√2 𝑢³
PREGUNTA 6 :
Una pirámide triangular regular es seccionada por un plano paralelo a la base que pasa por el punto medio de su altura. Dicha altura y la arista básica miden 6 y 4, respectivamente. Calcule el volumen de la pirámide pequeña.
A) 1 𝑢³
B) √2 𝑢³
C) √5 𝑢³
D) √3 𝑢³
E) √7 𝑢³
PREGUNTA 7 :
En una pirámide cuadrangular regular S- ABCD, la región MNPQ es la sección determinada por un plano secante a la superficie lateral, tal que SM= 3; SP= 4 y SQ= 6. Calcule SN.
A) 2,4
B) 5
C) 4,8
D) 3,6
E) 5,6
PREGUNTA 8 :
En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las caras laterales forman con el plano de la base un diedro de 60° y el plano que contiene a dos aristas básicas es perpendicular a una cara lateral. Calcule la razón de áreas de las bases.
A) 3
B) 4
C) 2
D) √6
E) √3
Es la superficie generada, cuando una línea recta, denominada generatriz, recorre todos los puntos de una línea poligonal plana no secante a si misma, denominada directriz, pasando siempre por un punto fijo exterior al plano de la directriz y conocido como vértice o cúspide.
Vértice o cúspide
Hojas o mantos
Es el sólido geométrico que se encuentra limitado por una superficie piramidal cerrada y un plano secante a dicha superficie que no contenga al vértice.
Cara lateral
Arista lateral
Arista básica
Altura Base
NOTACIÓN: Pirámide M-PQR 𝑅 𝐴 NOTACIÓN: 𝐺 𝐶 𝑃 𝐺′ Pirámide V-ABCDE 𝐸 𝐷 𝑄 Si 𝐺 es el centroide de la base, entonces 𝑉 − 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 es una pirámide recta. Si 𝐺′ es el centroide de la base, entonces 𝑀 − 𝑃𝑄𝑅 es una pirámide oblicua. Una PIRÁMIDE ES REGULAR, cuando sea recta y cuya base esté limitada por un polígono regular. Para toda pirámide 𝔸 = á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 Están limitadas por triángulos 𝑉 isósceles, entonces las aristas laterales tienen longitudes Es la altura relativa a la 𝑆.𝐿 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 iguales. arista básica en las caras laterales. ℎ Cálculo del área de la superficie total Es una región limitada por un polígono regular. 𝐵 𝑎𝑝 𝑏 𝐶 𝔸𝑆.𝑇 = 𝔸𝑆.𝐿 + 𝔸𝐵𝐴𝑆𝐸 𝑏 𝛽 𝑂 𝑀 𝐴 𝑏 𝐷 𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑂: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝜶: Medida del ángulo entre una arista lateral y la base Para una pirámide regular, podemos calcular la superficie lateral de la siguiente manera: 𝜷: Medida del diedro entre una cara lateral y la base 𝔸𝑺.𝑳 = = 𝒑𝒃𝒂𝒔𝒆: Semiperímetro de la base Se tiene un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 en cuyo Resolución: Piden 𝕍𝐸−𝐷𝑃𝐶 = ℂℎ 3 𝐸 • Del dato, tenemos: interior se toma un punto 𝑃. Por 𝑃 se levanta una perpendicular al plano del paralelogramo y en ella se toma un punto 𝐸. Halle el volumen Para aprovechar el dato de lo volúmenes, vamos a representar con letras las áreas de las bases. 𝔸ℎ 𝔻ℎ 𝔹ℎ = 14, = 12, = 10 3 3 3 • en 𝑚3 de la pirámide 𝐸 − 𝐷𝑃𝐶 , si los volúmenes de las pirámides 𝐸 − 𝐷𝑃𝐴, 𝐸 − 𝐶𝑃𝐵 y 𝐸 − 𝐵𝑃𝐴 son 10𝑚3, 12𝑚3 y 14𝑚3 respectivamente. 𝐴) 6 𝐵) 7 𝐶) 8 𝐷) 10 𝐸) 13 Del recordar: 𝔸 + ℂ = 𝔹 + 𝔻 Resolución: Piden 𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑂 • Sea R el radio de la base del tronco de cilindro, por circunferencia sabemos: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝑅 • Con ello, podemos hacer los cálculos respectivos: 2 𝑅 3 3 𝑒 𝕍𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 = 4 3 𝑒 𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 • Dividimos: 𝕍𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆 ∴ 𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝟒𝝅 Sea 𝑉 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 pirámide recta de base cuadrangular equiángula DEMOSTRACIÓN: • Las secciones planas 𝐴𝑉𝐶, 𝐵𝑉𝐷 y 𝑀𝑃𝑄𝑅 son secantes en el punto S. Luego: 𝑉 𝑉 𝐴 𝑚 𝑂 𝑚 ≅ 𝐶 𝐵 𝑚 𝑂 𝑚 Se cumple: 𝐷 • Se tiene: ℓ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 … (𝑖) ℓ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 … (𝑖𝑖) Sea 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶 pirámide triangular Plano secante a la DEMOSTRACIÓN: • Para una mejor comprensión vamos acomodar a la pirámide, entonces: superficie lateral • Dividimos ambas expresiones: → 𝕍𝑀−𝑃𝑄𝑅 𝐵 𝕍𝑀−𝐴𝐵𝐶 • Además: ⊿𝑀𝑃𝑃′~⊿𝑀𝐴𝐴′ Reem. en 𝑖 : 𝕍𝑴−𝑷𝑸𝑹 ∴ 𝕍𝑴−𝑨𝑩𝑪 𝒎 ∙ 𝒏 ∙ 𝒍 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 𝑉 Veamos: Sea ▰𝑀 ∥ ▰𝑁 ℎ Altura del 𝐿 𝑆 tronco de Pirámide deficiente Para el tronco de pirámide, el volumen se calcula: Comprobación: pirámide 𝑄 • Notamos: 𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝕍𝑉−𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝕍𝑉−𝐿𝑃𝑄𝑆 𝑃 ℎ′ 𝐻 Tronco de 𝔸 ℎ + ℎ′ 3 𝔹 ℎ 3 𝐴 pirámide 𝔸ℎ′ ℎ 𝕍 = + 𝔸 − 𝔹 … (𝑖) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 𝔹 ℎ 2 𝔹ℎ′ • Por pirámides semejantes: 𝔸 = ℎ + ℎ′ → ℎ = 𝔸 − 𝔹 𝐵 SE CUMPLE 𝐶 • Reemplazamos en (𝑖): 𝕍 𝔸ℎ′ 𝔹ℎ′ = + 𝔸 − 𝔹 … (𝑖𝑖) RAZÓN DE LÍNEAS: RAZÓN DE ÁREAS: RAZÓN DE VOLÚMENES: 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑟á𝑚𝑖𝑑𝑒 • Pero: 𝔸 − 𝔹 = 𝔸 − 𝔹 𝔸 + 𝔹 • Reemplazamos en (𝑖𝑖): ∴ 𝕍𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 𝒅𝒆 = 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆 3 𝔸 − 𝔹 𝒉′ 𝔸 + 𝔹 + 𝔸 ∙ 𝔹 Resolución: Piden 𝕍𝐴−𝐶𝐵1𝐶1 = 𝕍𝑋 𝐶 DATOS: 𝕍𝐵1−𝐴𝐵𝐶 = 𝕍1 En un tronco de pirámide 𝐴𝐵𝐶 − 𝐴1𝐵1𝐶1, los volúmenes de las pirámides 𝐵1 − 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴 − 𝐴1𝐵1𝐶1 miden 𝕍1 y 𝕍2 respectivamente. 𝕍𝐴−𝐴1 𝐴 𝐵1 𝐶1 = 𝕍2 Determine el volumen de la pirámide 𝐴 − 𝐶𝐵1𝐶1. ℎ • Por volumen del tronco de pirámide: • Veamos los sólidos por separado y tenemos lo siguiente: 𝕍𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 Es aquel tronco de pirámide generado a partir de una pirámide regular. características • Las bases en todo tronco de pirámide son paralelas y semejantes, si el tronco es Altura 𝑨′𝑩′𝑪′𝑫 − 𝑨𝑩𝑪𝑉𝑫 es un tronco de pirámide cuadrangular regular Base cuadrada 𝐵′ 𝐶′ Cara lateral (región trapecial Del gráfico: 𝜃: medida del ángulo entre la arista lateral y la base 𝛽: medida del diedro entre la cara regular, las bases son regulares. • Las caras laterales son regiones trapeciales, en el caso del tronco de pirámide 𝑎 regular son trapeciales isósceles. isósceles) 𝑎 𝐶 Apotema lateral y la base Base cuadrada Piden 𝕍𝑇𝑅𝑂𝑁𝐶𝑂 En un tronco de pirámide cuadrangular 𝒉 • Se observa que: 𝕍𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 3 22 + 62 + 4 ∙ 36 … (𝑖) regular, las aristas básicas son 2 cm y 6 cm, la apotema del tronco mide 4 cm. Calcule el Base cuadrada volumen del tronco (en 𝑐𝑚3). Se muestra un tronco de pirámide Si el vértice de una pirámide, equidista de los vértices de su base, se cumple: Si el vértice de una pirámide, equidista de las aristas básicas, se cumple: NOTA: El pie de su altura coincide con el centro de la circunferencia circunscrita a la base NOTA: El pie de su altura coincide con el centro de la circunferencia inscrita en la base