PIRÁMIDES EN GEOMETRIA DEL ESPACIO FÓRMULAS Y PROPIEDADES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA PDF
PIRÁMIDE
Es el sólido geométrico que tiene como base un polígono que tienen un vértice común que viene a ser el vértice de la pirámide y los otros dos vértices de cada triángulos coincide con los vértices de la base respectivamente.
Clasificación:
Por el número de lados de su base en:
☞ Pirámide triangular, si su base es un triángulo, llamado también tetraedro.
☞ Pirámide cuadrangular, si su base es un cuadrilátero.
☞ Pirámide pentagonal, si su base es un pentágono, etc.
PIRÁMIDE REGULAR
Es una pirámide cuya base es un polígono regular, sus caras laterales son triángulo isósceles iguales.
El pie de la altura coincide con el centro de la base.
APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR :
Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista básica.
PIRAMIDE IRREGULAR :
Es aquella que no cumple con las condiciones de la pirámide regular.
TEOREMA
Si se corta una pirámide cualquiera por un plano paralelo a la base se obtiene una pirámide parcial semejante a la pirámide total.
Propiedades
1) Si dos pirámides son semejantes, las áreas de sus bases son proporcionales a los cuadrados de sus dimensiones homólogas.
2) Los volúmenes de dos pirámides semejantes, son proporcionales a los cubos de sus dimensiones homólogas.
TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Es el sólido que se determina al interceptar a una pirámide regular con un plano paralelo a su base. Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales.
A. Elementos • Vértice de la Pirámide: O
• Vértices de la base: A, B, C ....
• Aristas laterales: OA,OB,OC...
• Aristas básicas: AB,BC,CD...
• Caras laterales: AOB, BOC,...
• Base de la pirámide: ABCD
• Altura: OMOM H Notación: Pirámide: O - ABCD B. Clasificación
1. ¿Qué criterio se toma para clasificar a las pirámides?
• Para clasificar a las pirámides, se evalúa el número de lados de la base, así por ejemplo, si la base es una región triangular, una región cuadrangular, una región pentagonal, ..., etc. Se denominará pirámide triangular, pirámide cuadrangular, pirámide pentagonal, ... etc.
En toda pirámide se puede realizar las siguientes aplicaciones.
Pirámide pentagonal P - ABCDE
• Área de la superficie Lateral SL A Áreas de las caras laterales • Área de la superficie Total ASL ASL B B: área de la base
• Volumen V B H 3 H: longitud de la altura de la pirámide. B. ¿Qué elementos representativos se consideran? La base de una pirámide puede ser una región poligonal convexa, no convexa o regular. según el tipo de pirámide que se analice, el pie de su altura puede ubicarse en el interior de su base en uno de los vértices de la base, arista básica o exterior a ésta, pero siempre en el plano que contiene a la base. Luego, según sea la base y la ubicación del pie de su altura, las pirámides pueden ser: pirámide regular o pirámide no regular (irregular). Entonces, ¿cuándo una pirámide es regular?, que elementos se consideran. Para que una pirámide sea regular es necesario evaluar la ubicación del pie de su altura y la base, así. II. PIRÁMIDE REGULAR A. Definición Es aquella pirámide cuya base es una región poligonal regular y el pie de su altura esta en el centro de su base. B. Apotema de la pirámide regular (Ap) Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide hacia una arista básica. Nota En toda pirámide regular se cumple: • Las caras son triángulos isósceles congruentes entre sí. • Las caras laterales y la base forman ángulos diedros de medidas iguales. • Las aristas laterales forman con la base ángulos de medidas iguales. Pirámide exagonal regular M – ABCDEF • Ap: apotema de la pirámide. • ap: apotema del polígono regular ABCDEF. • O: centro de la base. • MO: altura de la pirámide, o es el pie de dicha altura. • a: medida del diedro formado por una arista lateral con la base. • b: medida del ángulo formado por una arista lateral con la base. MON: aplicando el teorema de Pitágoras • Área de la superficie lateral ASL P(Ap) p: semiperímetro de la base • Área de la superficie total AST ASL Abase A base: área de la base • Volumen Abase H V 3 III. PIRÁMIDE NO REGULAR (IRREGULAR) Es aquella pirámide cuya base es una región poligonal cualquiera y el pie de su respectiva altura puede ubicarse en la base o exterior a ésta, pero siempre en el plano que contiene a su base. En el gráfico se muestra las siguientes pirámides irregulares: – Pirámide pentagonal M – ABCDE. – Pirámide cuadrangular M – ABCF. – Pirámide pentagonal M – AFCDE. • Área de la superficie lateral SL A Áreas de las caras laterales • Área de la superficie total AS.L AS.L Abase • Volumen Abase H V 3 Sólidos geométricos semejantes ¿Cuándo dos o más sólidos son semejantes? Dos o más sólidos geométricos son semejantes, si tienen igual forma, pero tamaños diferentes. IV. PIRÁMIDES SEMEJANTES Definición Dos pirámides son semejantes si sus bases son polígonos semejantes y sus respectivas caras laterales forman con la base diedros de igual medida. En la figura se muestra la pirámide M – ABCD semejante a la pirámide M´ – A´B´C´D´, siempre se cumple las siguientes propiedades. A. Las áreas de sus bases son proporcionales al cuadrado de las longitudes de sus líneas homólogas, así: 2 2 2 2 2 2 2 A (MA) (AB) H ...k B (MA´) (A´B´) h – A y B son áreas de las bases de las pirámides. – k: razón de semejanza. B. Los volúmenes de dicha pirámides son proporcionales al cubo de las longitudes de sus líneas homólogas. M ABCD 3 3 3 3 M´ A´B´C´D´ 3 3 3 V (MA) (AD) H ...k V (M´A´) (A´D´) h 3 3 31 3 3 3 3 2 Ve ABC (AB) (PA) h ...k Ve MNQ (MN) (PM) h Nota En las pirámides semejantes las áreas de las superficies laterales y totales son proporcionales al cuadrado de la longitud de las respectivas líneas homólogas. TRONCO DE PIRÁMIDE Se denomina tronco de pirámide a la porción de pirámide comprendida entre la base y la sección plana determinado por un plano paralelo a dicha base y secantes a todas las caras laterales. A la sección plana se denomina sección transversal y a la pirámide que tiene por base a la sección transversal y por vértice al vértice de la pirámide original se denomina pirámide deficiente y siempre es semejante con la pirámide inicial. Sea la pirámide de P – ABC hacia él se traza el plano S secante y paralelo al plano, determinándose la sección plana triangular MNQ o sección transversal, luego: • Área de la superficie lateral SL A Áreas de las caras laterales = Σ • Área de la superficie total AS.T. = AS.L. + A + B A y B son área de sus bases. • Volumen V H (A B A B) 3 = + + ⋅ – H: es la longitud de la altura del tronco de pirá-mide. – P – MNQ es la pirámide deficiente. – P – ABC y P – MNQ son pirámides semejantes. Luego se cumple: 2 2 2 2 2 A (AB) (PA) ...k B (MN) (PM) = = = k: razón de semejanza II. TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR Un tronco de pirámide es regular cuando sus bases son regiones poligonales regulares semejantes, sus caras laterales son regiones trapeciales congruentes y forman con las bases diedros suplementarios. Superficie cónica Definición Es la superficie que se genera por una recta denominada generatriz al ser desplazada a través de una línea curva plana denominada directriz y pasando siempre por un punto fijo no coplanar con dicha directriz. Nota: Emplear adecuadamente los términos inscrito, circunscrito, exinscrito en los sólidos.