RECTAS Y PLANOS EN GEOMETRÍA DEL ESPACIO PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICA DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA PDF
Cuando observamos nuestro alrededor, notamos que estamos rodeados de diversos objetos dispuestos en el espacio que nos rodea, por ejemplo las repisas colgantes en las paredes de una habitación, la ubicación de los postes de luz, un puente edificado encima de un río, etc.
Todas las situaciones antes mencionadas y muchas más se verán contrastadas de manera teórica en esta parte del curso, así mismo es muy importante la orientación espacial, por ejemplo supongamos que vamos a ir a un centro comercial en el cual deseamos realizar algunas compras, si ya conocemos dicho lugar sabemos como orientarnos para poder dirigirnos a un lugar especifico y así poder ahorrar tiempo, por que se da ello, puesto que ya conocemos la disposición espacial de las tiendas en dicho centro.
Así como en la vida diaria es importante la orientación de los lugares, esto también debe de darse en los problemas para poder tener una buena ubicación y desarrollo del mismo
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Con un solo punto del espacio no queda determinado un plano, pues si apoyamos, por ejemplo, un trozo de cartón sobre la punta del dedo, observamos que el plano toma una infinidad de posiciones.
Lo mismo sucede si lo intentamos con dos dedos, lo que nos dice que dos puntos tampoco lo determinan.
Sin embargo, es un hecho comprobable que con tres dedos como soporte, el cartón queda estabilizado, lo que nos confirma el siguiente enunciado:
“En el espacio, tres puntos no alineados determinan un plano”.
¿Que estudia la geometría del espacio?
Esfera (cuerpo redondo)
Pirámide (poliedro) Recta
Consideramos al plano como una superficie llana infinita que carece de espesor, donde existen infinitos puntos e infinitas rectas. Polígono (figura plana) Punto NOTACIÓN 𝑃: Se lee plano P La forma gráfica de representar a un plano usualmente será una región paralelográmica. Cuando tenemos un plano determinado en el espacio, éste lo divide en dos semiespacios. Veamos: Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 puntos no colineales. Semiespacio 𝐻 • 𝐴, 𝐵, 𝐶; determinan al 𝑃 • 𝑃 se encuentra fijo en el espacio • 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝑃 Semiespacio Conjuntos de puntos a distintos lados del plano. TEOREMA 1 TEOREMA 2 TEOREMA 3 Una recta y un punto exterior a ella, determinan un plano al cual pertenecen. Dos rectas secantes, determinan un plano al cual pertenecen. Dos rectas paralelas, determinan un plano al cual pertenecen. De lo anterior, entonces recuerda que las rectas secantes y las rectas paralelas son coplanares. La cantidad máxima de planos que podemos determinar con 𝒎 puntos es: La cantidad máxima de planos que podemos determinar con 𝒏 rectas es: La cantidad máxima de planos que podemos determinar con 𝒎 puntos y 𝒏 rectas es: 𝑵º𝒑: Número de planos EJEMPLOS Calcule la número máximo de planos que se pueden determinar con 5 puntos. Resol: Aplicamos el primer teorema: Calcule la número máximo de planos que se pueden determinar con 4 rectas. Resol: Aplicamos el segundo teorema: Calcule la número máximo de planos que se pueden determinar con 5 puntos y 4 rectas. Resol: Aplicamos el tercer teorema: 𝑁º𝑝 = 5(5 − 1)(5 − 2) 6 ∴ 𝑵º𝒑= 𝟏𝟎 𝑁º𝑝 = 4(4 − 1) 2 𝑁º𝑝 = 10 + 6 +5 ∙ 4 POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS PLANOS SECANTES NOTA Respecto a más planos La intersección de tres planos o más, puede ser un punto o puede ser una recta. Dos planos secantes son aquellos que tienen puntos de intersección. Dichos puntos forman una recta, la cual se denomina arista. Veamos: Planos secantes 𝑇 𝑷 ∩ 𝑵 ∩ 𝑴 = 𝑴 ∩ 𝑵 ∩ 𝑳 = ℒ Arista 𝑨 ∩ 𝑩 = Las esquinas de las habitaciones nos dan la idea de planos concurrentes en un punto. Un cuaderno o libro entre abierto nos da la idea de planos concurrentes en una recta. PLANOS PARALELOS Los planos paralelos, son aquellos que no tienen puntos de intersección (no se cortan). TEOREMA Relacionando las dos posiciones ℍ Secante las aristas Del gráfico: 𝔸 ∩ 𝔹 = ∅ Es aquella recta que tiene todos sus puntos en el plano. Semiplanos Una recta contenida en el plano, divide a éste en dos semiplanos. El parante de la sombrilla y la mesa nos dan la idea de una recta secante a un plano. La posición en que se encuentra la barra que sostiene a las pesas, respecto del suelo, nos da la idea de una recta paralela al plano. COPLANARES NO COPLANARES SECANTES PARALELAS ALABEADAS No tienen punto en común y no determinan planos Recuerda que éstas rectas, determinan planos ℒ Recta secante al plano ℒ 𝑀 (𝑀 ∉ ℒ1) Recta contenida en el plano APLICACÓN Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Para poder calcular la medida del ángulo entre dos rectas alabeadas, vamos apoyarnos de las paralelas. Veamos: Sean ℒ1 y ℒ2 dos rectas alabeadas, 𝑅 Cuando la medida del ángulo entre dos rectas alabeadas es 90°, dichas rectas se denominan rectas ortogonales. RESOLUCIÓN: • Trazamos las líneas en mención. 𝐵 𝐴 cuadrado 𝐶 𝐷 𝐹 𝐸 𝐺 𝐻 Para saber si son ortogonales debemos verificar si la medida del ángulo que forman Del primer método para el ángulo entre rectas alabeadas notamos que: 𝑫𝑩 y 𝑬𝑮 son ortogonales. Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes contenidas en un plano, entonces dicha recta es perpendicular al plano ℒി ⊥ ℙ: Entonces: Recta ℒ perpendicular al plano ℙ. ℒി ⊥ ℒ1 → 𝓛 ⊥ ℙ → 𝓛′ ⊥ ℙ ℒി ⊥ ℒ2 ℒി ⊥ ℒ3 Todas éstas rectas, contenidas en el plano ℙ 𝑸: Pie de la perpendicular. Resolución: 𝐶 𝐶 Señale la alternativa que representa la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa(F). 𝐼. 𝐴 𝐵 • En esa segunda situación: 𝐴𝐵 ⊂ ▰ℙ 𝐴 𝐵 𝐼. Si una recta 𝐴𝐵 y un plano ℙ son perpendiculares a una recta 𝐶𝐷, entonces la recta 𝐴𝐵 y el plano ℙ son paralelas entre sí. • En esa situación: 𝐴𝐵 ∥ ▰ℙ 𝐷 ℒ ∴ 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝑰 𝒆𝒔 𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨 𝐷 𝐼𝐼. 𝐼𝐼𝐼. La intersección de cuatro planos no paralelos entre sí, siempre es un punto. Si en todo plano ℙ determinado por dos rectas paralelas disjuntas, se cumple que dichas rectas son paralelas a un segundo plano ℙ1, entonces ℙ es paralelo a ℙ1. 𝐼𝐼. 𝑭𝑨𝑳𝑺𝑨 𝐴) 𝑉𝐹𝑉 𝐷) 𝐹𝐹𝑉 𝐵) 𝑉𝐹𝐹 𝐶) 𝐹𝐹𝐹 𝐸) 𝑉𝑉𝐹 La intersección de los planos mencionados puede ser también una recta. ℍ:Plano de proyección. Recta secante al plano ℍ Del gráfico: ℒ Proyección de la recta sobre el plano ℍ Del gráfico: 𝐴′: Proyección ortogonal de 𝐴 sobre el plano ℍ. 𝐵′𝐶′: Proyección ortogonal de 𝐵𝐶 sobre el plano ℍ. ∆𝑀′𝑁′𝐿′: Proyección ortogonal de ∆𝑀𝑁𝐿 sobre el plano ℍ. Notación: El ángulo que forma una recta con un plano, es el que forma la recta con su proyección en el plano. 𝟑ª ⊥ 𝟐ª ⊥ 𝟏ª ⊥ EXAMEN UNI 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝑰 Resolución: Piden 𝔸 𝐴𝑃𝑂 = 𝕏 𝑃 • Aprovechamos en completar Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectángulo, 𝑀 punto medio de 𝐵𝐶, 𝑃𝑀 perpendicular al plano 𝐴𝐵𝐶, 𝑂 centro del rectángulo, si 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 8 y 𝑃𝑀 = 𝐴𝐵, Del dato: 𝐴𝐵 = 4, 𝐵𝐶 = 8, 𝑃𝑀 = 4 𝟑ª ⊥ 𝟏ª ⊥ • longitudes y/o medidas angulares. Como 𝑀 es punto medio: 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 = 4 entonces el área de la región 𝐴𝑃𝑂 es: • ⊿𝐴𝐷𝐶 notable de 53°Τ2 𝐴) 2 6 𝐷) 7 6 RECORDAR 𝐵) 3 6 𝐶) 4 6 𝐸) 8 6 𝐴 𝐵 𝑂 𝑆 𝟐ª ⊥ 𝑀 • Calculemos la altura del triángulo 𝐴𝑂𝑃 , usamos el teorema de las tres ⊥ 𝑠. • ⊿𝑃𝑆𝑀 por el teorema de Pitágoras: 4 6 Observamos que: 𝕏 = (2 5)(ℎ) 𝐷 2 𝐶 ℎ = • Reemplazamos en 𝑖 : → 𝕏 = 5ℎ … (𝑖) Sean los planos ℍ, 𝕊 𝑦 ℤ paralelos, además: ℒ1 y ℒ2 secantes a los planos ℍ, 𝕊 y ℤ • Trazamos: ℒ3 ∥ ℒ1 → Determinan al plano ℚ • Luego: 𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝑇 ∥ 𝐶𝐾 • Con ello (por paralelogramo): 𝐴𝐵 = 𝑀𝑇, 𝐵𝐶 = 𝑇𝐾 • Además: ℒ3 𝑦 ℒ2 por ser secantes determinan un plano que contiene al ∆𝑀𝐿𝐾. • Como 𝑁𝑇 ∥ 𝐿𝐾 En ∆𝑀𝐿𝐾, aplicamos el corolario de Thales 𝑀𝑇 = 𝑀𝑁 = 𝐴𝐵 Se cumple: 𝑇𝐾 𝑁𝐿 𝐵𝐶