RAZÓN DE ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRIA DE SECUNDARIA Y PREUNIVERSITARIA PDF

El teorema original de Pitágoras, relaciona las áreas de las regiones cuadradas construidos sobre sus lados. 

Las prensas hidráulicas actuales, se basan en el principio de Blaise Pascal (1623-1662) que relaciona la presión, la fuerza y el área de los émbolos.
Teorema 1 (teorema elemental) RAZÓN DE ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES La ceviana de un triángulo, determina dos regiones triangulares y dos segmentos en su lado relativo, cumpliéndose que sus razones son iguales. Ejemplos 𝔸 2𝑘 𝑘 𝑚 𝑛 DADO UN PUNTO DE LA CEVIANA 𝑚 𝑚 12 Calcule 𝑥 𝑥 = 12 50 50 𝔹 30 2 3 Si el área de la región triangular 𝐴𝐵𝐶 es 180, calcule el área de la región sombreada. 𝐵 RESOLUCIÓN 𝐵 𝑏 𝑄 𝑘 3𝕊 Piden 𝕊 • En 𝜟 𝐴𝑄𝑀, 𝑄𝑁: mediana • En 𝜟 𝐴𝑄𝐶, 𝑀𝐶 = 2(𝑄𝑀) • En 𝜟 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝑄 = 2(𝑄𝐵) • En 𝜟 𝐴𝐵𝐶 dato 9𝕊 = 180 𝐴 𝐶 2𝑏 𝕊 𝕊 𝑀 𝑁 4𝕊 2𝑘 ∴ 𝕊 = 20 𝐶 𝐴 Teorema 2 Las tres medianas de un triángulo, determinan seis regiones triangulares de igual área. 𝐵 𝐸𝑛 𝜟𝐴𝐵𝐶 𝕊 Si 𝑂 es el centro del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 calcule la razón de las áreas de las regiones sombreadas. 𝐵 𝐶 𝔸 𝑂 𝔹 𝐷 𝑃 𝕊 𝕊 𝕊 𝐴 𝑁 𝐵 𝑃 𝕊 𝐺 𝕊 𝑀 𝕊 𝕊 𝐶 𝐸𝑛 𝜟𝐴𝐵𝐶 𝑆𝑖 𝐺: baricentro 𝑀 𝕊 𝐵 𝐶 𝔸 𝔹 𝔹 𝑂 𝑃 𝔹 𝔹 𝔹 𝐴 RESOLUCIÓN • 𝑂 centro del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 • 𝐸𝑛 𝜟𝐴𝐶𝐷 P: baricentro • 𝐸𝑛 𝜟𝐵𝐶𝐷 𝐶𝑂: mediana → 𝔸 = 3𝔹 𝔸 𝐴 𝑁 𝐶 𝔹 𝐴 𝐷 ∴ = 3 𝔹 Teorema 3 Las tres bases medias de un triángulo, determinan cuatro regiones triangulares de igual área. 𝐵 𝐸𝑛 𝜟𝐴𝐵𝐶 Si 𝐴𝐵𝐶𝐸 es un paralelogramo de centro 𝑂, calcule 𝕊. 𝐵 𝐶 𝑂 𝕊 12 𝕊 𝐴 𝑎 𝑎 𝐸 2𝑎 𝐷 𝑃 𝑀 𝕊 𝕊 𝕊 𝐴 𝐶 𝐵 𝐶 𝕊 𝑂 𝕊 12 𝕊 𝕊 𝐴 RESOLUCIÓN • 𝑂 centro de 𝐴𝐵𝐶𝐸 → 𝐴𝑂 = 𝑂𝐶 • En 𝜟𝐴𝐶𝐸 teorema • En 𝜟𝐴𝐶𝐷 4𝕊 = 12 ∴ 𝕊 = 3 𝐷 𝑎 𝑎 𝐸 2𝑎 Calcule 𝑥, si la razón de las áreas de las regiones triangulares 𝐴𝐵𝐸 𝑦 𝐸𝐶𝐷 es de 4 a 1. 𝐵 RESOLUCIÓN 2𝑘 𝐵 Piden 𝑥 • En 𝜟𝐴𝐵𝐸 se traza la base media 𝐶𝑀 • En 𝜟𝐴𝐵𝐸 aplicamos la propiedad de relación de áreas 𝐶 • Por teorema de la base media: 𝐴 𝐷 3𝕊 4𝕊 𝑘 𝕊 𝑥 𝐴𝐵 𝐶𝑀 = 𝑘 • En 𝜟𝑀𝐶𝐷 isósceles 𝕊 donde 𝐶𝐸 es mediana 𝐴 𝑀 𝐸 𝐷 ∴ 𝑥 = 90° Teorema 4 En dos triángulos semejantes, las áreas de sus regiones son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus lados homólogos. Apliquemos lo aprendido 𝐵 Si 𝐷𝐸 // 𝐴𝐶 y 𝐸𝐹 // 𝐵𝐴, calcule el 𝐵 𝑄 𝛽 ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑃𝑄𝑅 𝛽 área de la región triangular 𝐹𝐸𝐶. 𝐴 2 𝐹 3 𝐶 𝑐 ℎ 𝑎 𝔸 𝑒 𝑚 𝐵 𝑙 𝔹 𝛼 𝛼 𝜃 𝑃 𝑛 𝑅 4 RESOLUCIÓN Dato: 𝐷𝐸 // 𝐴𝐶 y 𝐸𝐹 // 𝐵𝐴 • ∆𝐷𝐵𝐸~∆𝐹𝐸𝐶 𝛼 𝜃 𝐴 𝑏 𝐶 𝐷 θ 𝐸 𝛼 4 (𝐷𝐸)2 𝕊 = (𝐹𝐶)2 4 (2)2 𝔸 𝑎2 𝑏2 𝑐2 ℎ2 𝕊 = (3)2 𝔹 = 𝑚2 = 𝑛2 = 𝑒2 = 𝑙2 4 4 𝕊 𝕊 = 9 𝐴 2 𝐹 θ 𝐶 3 ∴ 𝕊 = 9
2. Del gráfico calcule el área de la región sombreada AS. h h 2m m 24 u2 AS A) 4 u2 B) 3 u2 C) 6 u2 D) 9 u2 3. Del gráfico calcule la razón de áreas de regiones sombreadas. 2h 2m m h B A A) 1 B) 0,5 C) 3 D) 1,5 4. Un terreno de sembrío de forma triangular es dividido por el cauce de un río, en dos terrenos equivalentes. Si AB=100 m, halle CD. A B C θ θ D A) 200 m B) 400 m C) 100 2m D) 100 3m 5. En el gráfico se muestra una circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD, calcule el área de la región sombreada.
Un triángulo ABC tiene un área de 120 u2. Sobre el lado AC se toma un punto "Q" tal que: 3AQ = 7QC. Calcular el área del triángulo "ABQ".
a)60 u2     b)72 c)84         d)96 e) 108
2. Calcule el área de la región triangular formada al unir los puntos medios de los lados de un triángulo cuyos lados miden 16, 18 y 14.
4.Un trapecio isósceles está circunscrito a una circunferencia, si uno de los ángulos del trapecio es 30° y el área de la región limitada por el trapecio es S. Calcule la longitud del lado congruente del trapecio en función a S.

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