ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PREUNIVERSITARIA PDF

Un ángulo cualquiera inscrito en una semi-circunferencia es un ángulo recto. 

Propiedad de los ángulos inscritos en un mismo arco: 

Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes. 

En el gráfico. Si: “O” es centro de la circunferencia. 

Hallar x A)50º B)40º C)30º D)35º E)45º En el gráfico. Calcular q Si: “A” y “B” son puntos de tangencia A)100º B)80º C)108º D)104º E)99º A) 60° B) 70° C) 80° D) 90° E) 75° Si: , hallar . Además “P” y “Q” son puntos de tangencia. A)78° B)82° C)64° D)92° E)44° En la figura O es centro de la circunferencia. Entonces, el valor del ángulo a mostrado en el diseño, vale: A) 40° B) 50° C) 55° D) 11° E) 120° En un arco de circunferencia , donde es el diámetro, se tiene que es paralelo a es tangente al arco. Hallar el ángulo del PDB. A) 45° B) 55° C) 25° D) 65° E) 35° Circunferencia II: Ángulos en la Circunferencia Ángulos en la circunferencia 1. Ángulo central 2. Ángulo inscrito 3. Ángulo semi-inscrito 4. Ángulo ex-inscrito 5. Ángulo interior 6. Ángulo exterior a b c A B O x° x° x = mAB A B C x° 2x° 2 x = mAB A B x° 2x° 2 x = mAB A C B x° 2x° 2 x = mABC A D m° n° B C x° 2 x = m+ n A n° m° B P x° 2 x = m− n A n° m° B C P x° 2 x = m− n A D n° m° B C P x° 2 x = m− n UNIDAD 9 Propiedades 1. De un ángulo exterior. x + y = 180º 2. Si AB = CD ; entonces: AB CD . 3. Si: AB//CD entonces AC BD o PQ AB , entonces AT TB . 4. En toda circunferencia. mA􀀀B = mB􀀀C 5. Si "T" es punto de tangencia. x = y 6. En las circunferencias secantes congruentes. mAMB = mANB 7. En toda semicircunferencia. x = 90º En todo cuadrilátero inscrito: a. Los ángulos opuestos son suplementarios. x + y = 180º b. Un ángulo interior es congruente al opuesto exterior. x = y c. Las diagonales con los lados opuestos forman ángulos congruentes. x = y x° y° A B C D P T Q A B C D A B C x° y° A B T A B M N x° O x° y° x° y° x° y° Problemas Aplicativos 1. Calcule “x”, en el cuadrante. a) 80° b) 65° c) 35° d) 70° e) 55° 2. Calcule “x”. a) 9° b) 16° c) 15° d) 18° e) 12° 3. En el gráfico A y B son puntos de tangencia y mAPB=50°. a) 25° b) 55° c) 45° d) 65° e) 60° 4. Calcule “x”. Si A es punto de tangencia. a) 90° b) 50° c) 40° d) 20° e) 10° 5. Calcule “x”. a) 60° b) 120° c) 90° d) 80° e) 100° 6. En el gráfico, calcule “x”. Si: mCDE = 40° a) 10° b) 20° c) 8° d) 15° e) 12° 7. En el gráfico, calcule “x”. Si: A y B son puntos de tangencia. a) 20° b) 40° c) 50° d) 60° e) 30° 8. En el gráfico, calcule “x”. a) 20 b) 80 c) 60 d) 50 e) 40 9. En la figura, calcule “x”. a) 60° b) 50° c) 70° d) 80° e) 120° 10. En el gráfico, calcule “x”. a) 6 b) 3 c) 4 d) 8 e) 9 O x 20° x 2x O B x P θ A θ x 40° A x x 2x 50° A B C D E P Q x A B α α 80° x 100° x 6 x 11. En el gráfico, calcule “x”. a) 25° b) 60° c) 50° d) 45° e) 35° 12. En el sistema gráfico, calcule “x”, si “O” es circuncentro. a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) 50° 13. Calcule “x”, en el gráfico D, E y P son puntos de tangencia, tal que: PA=3PB a) 8° b) 7° c) 6° d) 12° e) 15° 14. En la figura, calcule “x”. Si: mAB=120° a) 30° b) 65° c) 60° d) 70° e) 40° 15. En el gráfico, calcule “x”. a) 30° b) 35° c) 25° d) 45° e) 15° Problemas Propuestos 1. En la figura, calcular el valor de “x”. O es centro. a) 40° b) 35° c) 20° d) 30° e) 18° 2. En la figura, calcule el valor de “x”. a) 15° b) 45° c) 37° d) 18° e) 30° 3. Si A es punto de tangencia, calcule “x”. a) 35° b) 36° c) 25° d) 15° e) 20° 4. En la circunferencia, calcule el valor de “x”. a) 40° b) 36° c) 50° d) 45° e) 30° x 60° 20° 10° 70° O B A C x D E B P A Q x 2x B A O 3x x O1 O α α O A B 8x x x a a a A 40° x x 40° 5. En la circunferencia, calcule el valor de “x”. a) 54° b) 48° c) 72° d) 36° e) 60° 6. En la figura, calcule el valor de “x”. a) 50° b) 60° c) 40° d) 30° e) 20° 7. Se tiene 3 circunferencias congruentes, dos de ellos son tangentes exteriores en B y la otra pasa por B e intercepta en A y C a las dos primeras. Calcular la mBAC, si AB=80°. a) 40° b) 80° c) 30° d) 50° e) 60° 8. En las circunferencias, calcule el valor de “x”. a) 54° b) 48° c) 72° d) 36° e) 18° 9. Calcular el valor de “x”. Si: mBC=40° a) 40° b) 20° c) 30° d) 50° e) 45° 10. Si O es centro, calcule “x”. a) 40° b) 30° c) 20° d) 50° e) 25° 11. En la circunferencia de centro “O”, calcule “x”. a) 90- 2 θ b) q c) 2q d) 90-q e) 90-2q 12. En la figura, calcule “x”. a) 8 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 x 2x 2α α x α α 2x 3x A x B C O x 50° α α O θ xθ x 6 α 2α 13. Calcule “x”. Si I: incentro del triángulo PBC. a) 18 b) 12 c) 30 d) 20 e) 10 14. En la siguiente figura, calcule “x”. a) 71,5° b) 53° c) 26,5° d) 17,5° e) 127° 15. En la circunferencia, calcule “x”. a) 45° b) 30° c) 60° d) 53° e) 37° A 8x B P C 2x I x a+1 a+2 a O1 O x CLAVES 1.e 2.c 3.a 4.c 5.c 6.a 7.e 8.d 9.d 10.a 11.d 12.b 13.a 14.a 15.d 1.e 2.e 3.c 4.a 5.c 6.b 7.d 8.d 9.b 10.d 11.a 12.e 13.e 14.a 15.a