Lugar geométrico ejercicios resueltos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición que sólo pueden cumplir ellos. 
Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos. La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un funto fijo. La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas. El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de dos puntos dados, es la mediatriz del segmento que los une. El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a distancia fija de una recta, es un conjunto formado por dos rectas paralelas a la recta dada. El lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto dado es una circunferencia que tiene por centro al punto dado y por radio a la distancia dada. El lugar geométrico de los extremos de segmentos tangentes de la misma longitud a una circunferencia es otra circunferencia concéntrica a la primera. El lugar geométrico de los puntos cuyo par de tangentes comunes a una circunferencia forman el mismo ángulo es una circunferencia concéntrica a la primera. El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia dada, está formado por dos circunferencias concéntricas a la circunferencia dada, cuyos radios son la suma y la diferencia de los radios dados. El lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia dada de una recta dada esta formado por dos rectas, paralelas a la recta dada y situadas a la distancia dada de ellas. El lugar geométrico de todos los triángulos equivalentes con la misma base es una recta paralela a esa base; lo mismo para los triángulos con la misma altura. El lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos puntos dados es una recta perpendicular a la recta que une los dos puntos y pasa por su punto medio. El lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos rectas dadas está formado por dos rectas perpendiculares entre sí que bisecan los ángulos comprendidos entre las dos rectas dadas. El lugar geométrico de todos los puntos tales que las rectas que lo unen con los extremos de un segmento dado comprenden un ángulo dado, es un arco de circunferencia que tiene por cuerda al segmento dado. Se le llama arco capaz del ángulo dado y se dice que que el segmento se ve desde todos puntos del arco bajo un ángulo dado. ECUACION DE UN LUGAR GEOMÉTRICO (L.G.) Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma: Cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x y y son todas las coordenadas de aquellos puntos ,que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico. El procedimiento para determinar la ecuación del lugar geométrico es el siguiente : I) Se toma un punto genérico P(x;y) del plano que satisface la condición o condiciones dadas del lugar geométrico (L.G.). II) Mediante esta condición o condiciones , se debe expresar analíticamente la expresión del lugar geométrico en las variables x e y . CRITERIOS PARA GRAFICAR ECUACIONES DE L.G. Cuando se tiene que graficar una ecuación en dos variables x , y , es conveniente tener en cuenta ciertas consideraciones o criterios preliminares: INTERCEPTOS CON LOS EJES COORDENADOS Se ubican los puntos en los que la gráfica debe intersectar a los ejes , para lo cual si se desea encontrar los interceptos con el eje Y, se hace x=0 en la ecuación y se despejan los valores reales de y correspondientes ; y para hallar los interceptos con el eje x , se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran todos los posibles valores reales de x correspondientes . ejemplo : En la ecuación 4x2 + 9(y– 2)2 = 36 Si x = 0: 9(y – 2)2 = 36y = 0 y = 4 y se dice que 0 y 4 son los interceptos con el eje Y ; y si y = 0: 4x2 = 0 x = 0, y se dice que 0 es el único intercepto con el eje X. EXTENSIÓN : Con esto se quiere indicar un previo análisis de la ecuación para encontrar los intervalos en los cuales las variables x , y toman valores reales .. ejemplo : En la ecuación : 4x2 + 9(y – 2)2 = 36 Si se despeja x de la ecuación se tiene que: Y como x debe ser un número real, entonces debe considerarse del radical que: 4 – (y – 2)2 ³ 0 lo que implica –2 £ y – 2 £ 2 0 £ y £ 4 es decir , los valores y Î [0 ; 4] Análogamente, despejando y de la ecuación se tiene la condición para x: –3 £ x £ 3 , es decir, todos los valores xÎ[–3 ; 3]. De esta manera la gráfica estará contenida en la región del plano limitada por el siguiente rectángulo lo que determina su extensión en el plano. SIMETRÍA : Con frecuencia es útil reconocer cuándo la gráfica es simétrica respecto a los ejes coordenados y /o al origen. Recordaremos que si L es una recta y Q un punto cualquiera entonces se dice que el punto Q’ es el simétrico de Q con respecto a L si: I) L ^ QQ’ II) L intersecta a QQ’ en su punto medio M. La recta L recibe el nombre de EJE DE SIMETRÍA de los dos puntos. Se dice además que dos puntos P y Q son simétricos entre si con respecto a un punto, si M es el punto medio del segmento PQ. este punto M, se llama CENTRO DE SIMETRÍA. SIMETRÍA DE UNA CURVA CON RESPECTO AL EJE X : Si la ecuación de una curva no varía cuando se sustituye y por –y entonces se dice , que la curva es simétrica con respecto al eje x, pues ello indicará que los puntos (x;y) y (x;–y) pertenecen a la gráfica y tienen como eje de simetría al eje x . SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE Y: Si la ecuación no varía cuando se sustituye x por –x entonces la curva es simétrica con respecto al eje Y , pues ello indicará que los puntos (x;y) y (–x;y) pertenecen a la gráfica y tendrá como eje de simetría al eje Y. SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN : Si la ecuación no varía cuando se sustituye simultáneamente x por –x , y y por –y entonces la curva es simétrica con respecto al origen , pues ello indicará que los puntos (x;y) y (–x;–y) pertenecen a la gráfica y tendrán como centro de simetría al origen ASÍNTOTAS : Si para una curva se encuentran una recta L tal que la distancia de un punto de la curva a la recta L va disminuyendo tendiendo a cero conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen entonces dicha recta se llama ASÍNTOTA de la curva. Consideraremos por ahora solamente asíntotas que sean horizontales o verticales. Ejemplo : Dada la ecuación : xy – x– y = 0 Si se despeja y en términos de x : Se observa que si x tiene a 1 tomando valores menores que 1 y positivos, entonces el denominador x – 1 tienen a cero y tiende a – ¥ , mientras que si “x” tiende a:+¥ tomando valores a la derecha de 1, entonces y tiende a + ¥ . Esto indica que x=1, es una asíntota vertical Si se despeja x : Analizando en forma análoga a la anterior se tiene que y = 1 es una asíntota horizontal. REGLA PARA HALLAR ASÍNTOTAS POSIBLES: I) Para las asíntotas verticales se despeja y en función de “x” y se igualan a cero los factores lineales del denominador y si es que no se obtiene para tales valores x la expresión , entonces dichas ecuaciones corresponderán a las asíntotas verticales. II) Para las asíntotas horizontales se despeja x en términos de y , se igualan a cero los factores lineales del denominador (si existiera, claro está ) y se procede como en (I). CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA Habiéndose determinado algunos detalles de la curva con los criterios anteriores se tabulan algunos puntos . Ejemplo : graficar la ecuación : 4x2+9y2= 36 resolución : Interceptos con el eje x : haciendo y = 0 : x = ± 3 Interceptos con el eje y : haciendo x = 0 : y = ± 2 Extensión : –3 £ x £ 3 ; –2 £ y £ 2 Simetrías: Es simétrica respecto al eje x pués la ecuación no varía al reemplazar y por –y . Es simétrica respecto al origen al eje y pues la ecuación no varía al reemplazar x por –x Es simétrica respecto al origen No tiene asíntotas verticales ni horizontales y por las consideraciones anteriores solo es necesario tabular en el primer cuadrante. ECUACIONES FACTORIZABLES Son aquellas que pueden expresarse como producto de dos o más factores igualados a cero , como: x2–(y –1)2=0 Þ (x – y + 1)(x + y – 1) = 0 Þ x – y + 1 = 0 ó x + y –1 = 0 y cuya gráfica corresponde a la reunión de los puntos de ambas gráfica: L1: x – y+1 = 0 L2: x + y – 1 = 0 Para determinar el lugar geométrico donde el enunciado del problema nos diga L.G. de tal punto ; en ese punto, pondremos las coordenadas (x;y). A cualquier otro punto que aparezca en el problema le pondremos cualquier coordenada pero nunca (x;y) ya que (x;y) es solo para el L.G. PROBLEMA 18 : Halle el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los puntos (3;4) y (–3;–4) es igual a RESOLUCIÓN : La condición implica la relación: Elevando al cuadrado y simplificando. Elevando al cuadrado nuevamente y simplificando se tiene: 17x2 + 10y2 – 24xy = 26 rpta : ‘‘c’’ PROBLEMA 19 : Según el gráfico , es el lugar geométrico del punto O, tal que la circunferencia de centro O se pueda inscribir en un triángulo rectángulo de hipotenusa AC. Si AC= , calcule la longitud de dicho lugar geométrico RESOLUCIÓN : Como: Pero: rpta : ‘‘A’’ PROBLEMA 20 : Por el punto A(3;0) se traza una recta que corta al eje Y en el punto B. En el segmento se toma un punto P, tal que . Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto P, cuando la recta que pasa por A gira alrededor de este punto. resolución : Por dato : B ; P ; A son colineales : (II) en (I) : rpta : ‘‘c’’ PROBLEMA 21 : Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe un punto P situado en el primer cuadrante, desde el cual se ve el segmento bajo un ángulo de 45° , siendo A (– 3; 4) y B(3; 8). resolución : Usando la fórmula de ángulo entre dos rectas : (II) y (III) en (I) : rpta : ‘‘D’’ PROBLEMA 22 : Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto P , cuando este punto P se proyecta sobre la recta que pasa por los puntos A(3;–2) y B (–3;1). La proyección del punto ‘P’ es el punto E(2y1; y1). resolución : E; B; A son colineales : (I) en (II) : rpta : ‘‘E’’ PROBLEMA 23 : Dada la ecuación de la circunferencia x2+y2=9, con centro en el origen y radio igual a 3. Un punto P de la circunferencia se une con los extremos de un diámetro cualquiera . Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el baricentro del triángulo formado. resolución : El punto P(x; y) pertenece a la curva : Como G(x; y) es baricentro : (I) y (II) en (): rpta : ‘‘C’’ PROBLEMA 24 : Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A(–a; 0) y B(a; 0) es igual a C. resolución : PROBLEMA 26 : Dada la ecuación de la circunferencia x2+y2=25. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de esta circunferencia cuyas longitudes son iguales a 8. resolución : Sea la cuerda. Como E es punto medio de Uniendo el origen con el punto E : Por propiedad En el triángulo OEB : Por Pitágoras : PROBLEMA 25 : Por el origen de coordenadas se han trazado todas las cuerdas posibles a la circunferencia (x–8)2+y2= 64 . Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de estas cuerdas. resolución : Centro de la circunferencia :C(8; 0) , radio = 8 pertenece a la circunferencia : Como P(x; y) es punto medio de : Reemplazando (II) y (III) en (I) : rpta : ‘‘E’’ PROBLEMA 27 : En la siguiente figura hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto P . Se sabe que el punto se une con los vértices del triángulo OAB formándose 3 triángulos de igual área. resolución : O; A; P son colineales : Como S1=S2=S3 : es baricentro : rpta : ‘‘B’’ PROBLEMA 28 : En la siguiente figura hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto ‘P’, si se sabe que la pendiente de es y que resolución : Por dato : rpta : ‘‘C’’ PROBLEMA 29 : La siguiente figura es una escuadra. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto A , sabiendo que el ángulo de inclinación de la hipotenusa es 120°. resolución : De la figura : . De la figura : (II) en (III) : (II) y (IV) en (I) : rpta : ‘‘D’’ PROBLEMA 30 : En la siguiente figura ,hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto E. resolución : E; C; A son colineales : (I)=(II) : rpta : ‘‘A’’ PROBLEMA 31 : En el siguiente rectángulo, hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto C . resolución : (I) = (II) : rpta : ‘‘E’’ PROBLEMA 32 : En la siguiente figura , hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto C(x; y), sabiendo que el ángulo q es igual a 3a. resolución : Por dato :q=3a Por propiedad : Un ángulo externo = suma de los ángulos internos no adyacentes. De la figura : Usando el fórmula del ángulo entre dos rectas : Por fórmula del ángulo doble: (I) en (III): (II)=(IV) : PROBLEMA 33 : Dos de los vértices de un triángulo son los puntos A(–1;3) y B(5;1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C(x;y) que se mueve de tal manera que la pendiente del lado es siempre el doble de la pendiente del lado resolución : Por dato : rpta : ‘‘e’’ PROBLEMA 34 : En la siguiente figura hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto P(x;y). La ecuación de la curva es x=y3, si se cumple la siguiente condición : resolución : Utilizando la condición : (I) y (II) en (III) : rpta : ‘‘c’’ PROBLEMA 35 : En la siguiente figura se tiene un trapecio. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto E . El lado y el lado se prolongan hasta cortarse en P(4; 8). resolución : M; E; P son colineales : (I)=(II) : rpta : ‘‘e’’ PROBLEMA 36 : En la siguiente figura hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto C(x;y). Se sabe que el perímetro del cuadrilátero OENA es 20. resolución : De la figura De la figura : Por dato : el perímetro 2n+6+4n+8=206n=6 n=1 rpta : ‘‘d’’ PROBLEMA 37 : En la siguiente figura hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto E. Se sabe que el área del triángulo MEO es 6 unidades cuadradas. resolución : A; E; B son colineales . Por dato : rpta : ‘‘c’’ Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto fijo F(2;3) y del eje x. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al origen es siempre igual a 3. Hallar la ecuación de su lugar geométrico . Un segmento de 8 unidades de longitud apoya su extremo N en el eje X y su extremo M en el eje Y . Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto medio de . Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y disminuida en 5 es igual al doble de su distancia del eje x . Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P = (x;y) equidistantes de A=(2;2) y B (6;–8). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P=(x;y) cuya distancia a la recta L:y+4=0 sea igual a dos tercios de su distancia al punto (3;2) Hallar la ecuación del lugar geométrico cuyos simétricos respecto del origen forman la gráfica de la ecuación : xy2 – 2x2 y + y = 3 En la siguiente figura se tiene una circunferencia de radio igual a 4 unidades. hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto A. Halle el lugar geométrico de los puntos que dividen a las abcisas de los puntos de la circunferencia x2+y2 =25 en la relación 4/5. A)Recta B)Circunferencia C)Parábola D)Elipse E)Hipérbola Una recta intersecta a los ejes positivos de coordenadas en A y B , se ubica P en de manera que AP = a , PB = b y a ¹ b. Si los interceptos se desplazan sobre los ejes X e Y. Entonces P describe una figura geométrica llamada: A)Elipse B)Circunferencia C)Parábola D)Hipérbola E)Recta Un segmento rectilíneo de longitud 6 se mueve de tal manera que uno de sus extremos permanece siempre en el eje x y el otro extremo en el eje y ; hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio de dicho segmentos. Dado los puntos a =(0;–2),B=(0;4) y c=(0;0) hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los puntos P=(x;y) tales que el producto de las pendientes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC . Hallar el lugar geométrico del punto P(x;y) que se mueve de tal manera que la pendiente de la recta que lo une con (0;2) es 1/2 de la pendiente de la recta que lo une con (1;1). Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A=(0;0) y B=(3;0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto C si este se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble del ángulo en la base CBA. La base de un triángulo es en donde A( – 5;0) y B(5;0). Hallar el lugar geométrico del tercer vértice C , si la suma de los ángulos de la base es de 45°, sabiendo que C está el primer cuadrante. Encontrar el lugar geométrico de un punto que sea en todo momento equidistante de los extremos del segmento , A(–1;4) y B(2;2) Dado los puntos A(–6;0),B(–2;0) ,C(4;0) .Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos desde los cuales los segmentos se ven bajo el mismo ángulo .

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Geometría problemas resueltos de secundaria y pre universidad