INTERSECCIÓN DE FIGURAS Y NÚMERO DE PUNTOS DE CORTE PROBLEMAS RESUELTOS PDF
INTERSECCIóN de figuras Dos figuras se interceptan cuando comparten uno o más puntos perimétricos por cuestiones prácticas , únicamente consideraremos los puntos pertenecientes al contorno de la figura más no los puntos que pertenecen a la porción del plano limitada por los lados de dicha figura. Por ejemplo el mínimo número de puntos de intersección de dos circunferencias Secantes es 2, como se muestra en la figura adjunta. Es importante aclarar que si dos figuras se interceptan ,no necesariamente se deben estar cortando. Por ejemplo las dos circunferencias mostradas se llaman tangentes porque se están interceptando (no cortando) en un punto ‘‘t’’ llamado punto de tangencia o de contacto y cuando 2 o más se cortan, se les denomina ‘‘Secantes’’. En éste capítulo de intersecciones calcularemos el máximo y el mínimo de puntos de intersección de 2 ó más figuras geométricas. MáXIMO NúMERO DE PUNTOS DE intersección Analizaremos los siguientes casos : * Máximo número de puntos de intersecciones de n rectas secantes. * Máximo número de puntos de intersecciones de n circunferencias secantes . * Máximo número de puntos de intersecciones de n polígonos de igual número de lados. * Máximo número de puntos de intersecciones de 2 polígonos de diferente número de lados. * Máximo número de puntos de intersecciones de más de 2 polígonos de diferente número de lados. Para cada uno de éstos casos , daremos las fórmulas correspondientes : MáXIMO NúMERO DE PUNTOS DE intersección DE n RECTAS SECANTES : Este número lo obtenemos con la siguiente fórmula: Demostración : Cuando son 3 rectas secantes, una de ellas (L1) origina sobre las otras 2 rectas , 2 puntos de corte. Es decir , si son n rectas secantes , una cualquiera, origina sobre las otras n – 1 puntos de corte. Luego , si son n rectas , habrán : n(n–1) puntos de corte , o sea : Ahora, nótese que cada punto de corte , por ejemplo el (1) se cuenta 2 veces , una para la recta (L1) y luego por segunda vez, cuando se analiza la recta (L2), en consecuencia el número TOTAL de puntos de corte considerado es en realidad el doble del buscado. Finalmente, el máximo número será : casos Particulares : En la intersección de rectas ,existen los siguientes casos particulares : Rectas Concurrentes : Son las que pasan por un mismo punto. Entonces , será : Rectas Paralelas : Las que no se cortan, pero están en el mismo plano. Nótese que para que se obtenga un máximo número de corte , todas las rectas deben cortarse entre sí , osea deben ser secantes , no concurrentes (cuando pasan por un mismo punto) , ni paralelas (cuando no se cortan) MáXIMO NúMERO DE PUNTOS DE intersección DE “n” circunferencias SECANTES : El número máximo en éste caso , se obtendrá con la fórmula siguiente : Siendo n el número de circunferencias. Demostración : utilizando un razonamiento inductivo-deductivo : Cuando son 2 circunferencias , el máximo número de puntos de corte es : Cuando son 3 circunferencias el máximo número de puntos de corte es : Cuando son 4 circunferencias , el máximo número de puntos de corte : En general cuando son n circunferencias , el máximo número de puntos de corte , será : casos particulares : Cuando son circunferencias concéntricas: Osea que tiene el mismo centro , en éste caso será : Cuando son circunferencias colineales : Osea que sus centros de hallan en línea recta , en éste caso: Cuando forman una figura cerrada En este caso , será : Hallar el número máximo de puntos de corte de seis rectas secantes. A)12 B)13 C)15 D)17 E)6 Hallar el número máximo de puntos de corte de siete rectas secantes. A)19 B)21 C)23 D)25 E)17 Halle el máximo número de puntos de corte de 8 rectas secantes. a) 4 b) 28 c) 82 d) 27 e) 64 Calcular el número máximo de puntos de corte entre 2 rectas paralelas y 3 rectas secantes. a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 9 Hallar el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y dos rectas paralelas. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Hallar el máximo número de puntos de corte entre 3 rectas secantes y 3 rectas paralelas. a) 10 b) 12 c) 9 d)15 e) 18 ¿En cuántos puntos cortará una secante a diez rectas paralelas? a) 8 b) 10 c) 11 d)12 e) 13 Hallar el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. a) 6 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1 Hallar el número máximo de puntos de corte de 3 rectas secantes. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 Hallar el número máximo de puntos de corte de 4 rectas secantes. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3 Hallar el número máximo de puntos de corte de 5 rectas secantes. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 Hallar el máximo número de puntos de corte de 20 rectas secantes. a) 170 b)19 c)190 d) 17 e)180 Hallar el máximo número de puntos de corte de ‘‘n’’ rectas secantes. ¿ En cuántos puntos cortará una recta secante a las 3 paralelas mostradas? Cuando son circunferencias tangentes: Se obtienen 3 casos : n Circunferencias Tangentes Interiores En éste caso : 2 Circunferencias Tangentes Exteriores n Circunferencias tangentes exteriores y colineales Para 2 circunferencias :1 = 2–1 Para 3 circunferencias : 2 = 3–1 Para 4 circunferencias : 3 = 4–1 Para ‘‘n’’ circunferecias : n–1 MáXIMO NúMERO DE PUNTOS DE intersección DE “n” poligonos de igual numero de lados : Este número máximo se obtiene con la fórmula siguiente : Siendo : L : Número de lados de uno de los polígonos. n : Número de polígonos a interceptar. interseccion de solo dos poligonos de diferente numero de lados : Para interceptar sólo dos figuras diferentes se debe tener en cuenta que el máximo número de puntos de corte , es igual al doble del número de lados del polígono menor. Ejemplo : Determinar el máximo número de puntos de corte de un cuadrilátero y un triángulo. resolución : Polígono menor : Triángulo Polígono mayor : Cuadrilátero Entonces :2×3=6 puntos interseccion de mas de dos poligonos de diferente numero de lados : Para interceptar n figuras de la misma naturaleza con m figuras de otra especie se aplica la relación: Donde k es el máximo número de puntos de corte de solo dos de las figuras diferentes. ejemplo : El número de puntos de intersección de un triángulo y un cuadrado es :2×3=6 puntos Ejercicio : Determinar el máximo número de puntos de corte de 30 circunferencias secantes con 20 rectas secantes. RESolución: Lo calcularemos por partes , así : Intersección de 30 circunferencias secantes Intersección de 20 rectas secantes : Intersección de 30 circunferencias y 20 rectas :30×20×2 = 1200 puntos En consecuencia , el número total será : nota : Para m polígonos convexos de x lados con n polígonos convexos de y lados cada uno, donde y