ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA Y SUS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS DESARROLLADOS

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL 

Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas y su lado final se ubica en cualquier región del plano cartesiano.

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1. Un navegante, al manipular una brújula, observa que las agujas se encuentran en la siguiente posición: 270 90 180 0 O E P θ S N Si el punto P(–2; 1) pertenece al lado final del ángulo θ en posición normal, calcule el valor de la siguiente expresión: E= 5 (senθ – cosθ) A) 3 B) –3 C) –1 D) 1 2. Del gráfico, calcule 2secq. 3. Si el área de la placa triangular AOB es 6 u2 y P(2; 0), calcule el valor de tanq – tana. Y A B O X θ α P A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 4. En el gráfico, se observa a un jugador de la UEFA Champions League que patea un balón hacia la portería con un ángulo θ. Calcule tanθ.

Resolución Aplicamos la fórmula: r = x2 + y2 Que es lo mismo: r2 = x2 + y2 x2 + y2 = r2 Reemplazamos “y” por 12 ∧ “r” por 13 en la igualdad anterior x2 + 122 = 132 x2 + 144 = 169 x2 = 25 x = ± 5 Como “x” está en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo: x = –5 2. Hallar “y” Resolución Análogamente aplicamos: x2 + y2 = r2 Reemplazamos “x” por 8 ∧ “r” por 17 en la igualdad anterior: (-8)2 + y2 = 172 64 + y2 = 289 y2 = 225 y = ±15 Como “y” está en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo: y = –15 3. Hallar “r” X Y 17 (-8; y) 0 X Y r (-2; 3) 0 Resolución Análogamente aplicamos: r = x2 + y2 Reemplazamos “x” por -2 ∧ “y” por 3 en la igualdad anterior: r = (−2)2 + 32 r = 4 + 9 r = 13 Ojo: “r” es siempre POSITIVO por ser LONGITUD. 4. Hallar Senθ Resolución Aplicamos el EJEMPLO 2 y obtenemos: y = -24 Del gráfico obtenemos los valores de: x = -7 ∧ r = 25 Nos piden Senθ, aplicamos la definición: Senθ = r y Reemplazamos: Senθ =– 24 25 5. Hallar Cosθ X Y 25 (-7; y) 0 θ X Y θ (X; 4) 0 5 Resolución Aplicamos el EJEMPLO 1 y obtenemos: x = -3 Del gráfico obtenemos los valores de: y = 4 ∧ r = 5 Nos piden Cosθ, aplicamos la definición: Cosθ = r x Reemplazamos: Cosθ = – 35 6. Hallar Tanθ Resolución Aplicamos el EJEMPLO 2 y obtenemos: y = − 3 5 Del gráfico obtenemos los valores de: x = 2 ∧ r = 7 Nos piden Tanθ, aplicamos la definición Tanθ = x y Reemplazamos: Tanθ = – 3 5 2 X Y θ 7 (2; y) O Signos de las R.T. en cada cuadrante Primer Cuadrante En el primer cuadrante TODAS las R.T. son POSITIVAS porque la ABSCISA (x), la ORDENADA (Y) y el RADIO VECTOR (r) son positivos. Segundo Cuadrante En el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) el RADIO VECTOR (r) son positivas. Las demás R.T. son negativas. Tercer Cuadrante En el tercer cuadrante la TANGENTE Y COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x), y la ORDENADA (y) son negativas. Las demás R.T. son negativas. Cuarto Cuadrante En el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA(x) y el RADIO VECTOR (r) son positivos Las demás R.T. son negativas. Regla Práctica Son POSITIVOS. Ejemplos Sen ∧ Csc TODAS Tan ∧ Cot Cos ∧ Sec o 1. ¿Qué signo tiene? E = Tan300º Sen100º • Cos200º Resolución 100º ∈ II ⇒ Sen100º es (+) 200º ∈ III ⇒ Cos200º es (–) 300º ∈ IV ⇒ Tan300º es (–) Reemplazamos: E = ( ) ( ) ( ) − + − E = ( ) ( ) − − E = (+) 2. Si θ ∈ II ∧ Cos2θ = 9 2 . Hallar Cosθ. Resolución Despejamos Cosθ de la igualdad dato: Cos2θ = 9 2 Cos θ = 3 ± 2 Como θ ∈ III entonces Cos θ es negativo, por tanto: Cos θ = 3 − 2 3. Si θ ∈ IV ∧ Tan2θ = 4 25 . Hallar Tanθ. Resolución Despejamos Tanθ de la igualdad dato: Tan2θ = 4 25 Tan2θ = 5 ± 2 Como θ ∈ IV entonces la Tanθ es negativa, por tanto: Tanθ = 5 − 2 R.T. de ángulos cuadrantales Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. de 90º, análogamente se van a calcular las otras R.T. de 0º, 180º, 270º y 360º. Del gráfico observamos que x = 0 ∧ r = y, por tanto: Sen90º = r y = y y = 1 Cos90º = r x = y 0 = 0 Tan90º = x y = 0 y = No definido = ND Cot90º = y x = y 0 = 0 Sec90º = x r = 0 y = No definido = ND Csc90º = y r = y y = 1 X Y 0 (x; y) 90º r X Y 0 (0; y) 90º y Análogamente: 0º 90º 180º 270º 360º Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tan 0 ND 0 ND 0 Cot ND 0 ND 0 ND Sec 1 ND -1 ND 1 Csc ND 1 ND -1 ND  R.T. Ejemplos 1. Calcular: E = π + π π − π Cot(3 / 2) Sec2 2Sen( / 2) Cos Resolución Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos: