ÁLGEBRA SOLUCIONES DE EXAMEN ADMISIÓN UNIVERSIDAD CATÓLICA CLAVES RESPUESTAS PUCP

PREGUNTA 1

Luego de factorizar el siguiente polinomio 

P(x)=x³ – x²–4x+4, se obtiene (x+a)(x+b)(x+c) 

Calcular a+b+c 

A) –1 

B) 1 

C) 2 

D) –2 

Resolución

Factorizando: 

P(x)=x³ – x²–4x+4

⇒ P(x)=x²(x–1)–4(x–1) 

⇒ P(x)=(x–1)(x² – 4) 

⇒ P(x)=(x–1)(x+2)(x–2) 

Reconociendo un valor para: 

a=–1, b=2, c=–2 

→ a+b+c=–1 

Rpta. : "A"

PREGUNTA 2

Cuatro operaciones 5 adultos y 8 niños acuerdan ir al cine. Si el precio de las entradas para adultos es el doble del precio de las entradas para niños, sabiendo que se pagó 270 soles, halle el precio de la entrada para un adulto. 

A) 15 soles 

B) 30 soles 

C) 45 soles 

D) 60 soles 

Resolución

De los datos: 

Precio de las entradas al cine: 

Adulto: 2x 

Niño: x 

Cantidad de personas: 

Adultos: 5 

Niños: 8 

Entonces de acuerdo a lo pagado: 

5(2x)+8(x)=270 x=15 (precio de entrada para niño) 

∴ 2x=30 (precio de entrada para adulto) 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 3

Si el par ordenado (x₀ ; y₀) es la solución del siguiente sistema. 

x + ay = b 

bx + 2y = a  

Calcular a+b 

siendo x₀=1 ∧ y₀=2 

A) –10 

B) –12 

C) –13 

D) –14 

Resolución

Si x₀=1 ∧ y₀=2 en el sistema se tiene: 

1 + 2a = b 

b + 4 = a 

Resolviendo se tiene que: 

a= – 5  y  b=– 9 

→ a+b=–14

Rpta. : "D"

PREGUNTA 4

Si x∈〈–3;0〉 , halle la variación de: 

A) 〈–2/5;0〉 

B) 〈1/2;5/2〉 

C) 〈–5/2;1/2〉 

D) 〈–2/5;1/2〉

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 5

A) 2y 

B) √2y 

C) 2√y 

D) √y 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 6

Resolver la siguiente inecuación: 

A) [ –13 ; – 11/2 ]

B) ] – ∞ ; – 13 ] ∪ [ –11/2 ; +∞ [ 

C) ] – ∞ ; – 13  [  ∪ ] –11/2 ; +∞ [ 

D) ] –13 ; – 11/2 ]

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 7

Al dividir un polinomio P(x) entre x+a el residuo es b y al dividir P(x) entre x+b el residuo es a, calcular la suma de coeficientes del residuo de dividir P(x) entre (x+a)(x+b) 

A) a+b–1 

B) a–b–1 

C) a+b+1 

D) –a–b–1 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 8

Diga usted por qué cuadrante no pasa la siguiente función f:ℝ→ℝ cuya regla de correspondencia viene dado por: 

f(x)=–x²+10x–20 

A) I y III 

B) I y II 

C) II 

D) III y IV 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 9

La ecuación de la recta cuya gráfica se muestra a continuación

es: 

A) 2y+3x–6=0 

B) 3y–2x+6=0 

C) 2y–3x–6=0 

D) 3y+2x–6=0 

Resolución

Según la gráfica se tiene que 

y=ax+b 

donde b=2 

→ y=ax+2 

Luego para x=3, y=0 reemplazando y despejando se tiene:

3y+2x–6=0 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 10

Halla la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación. 

A) y = 2(x–3)² +1 

B) y = 2(x–1)² +3 

C) y = (x–1)² +3 

D) y = (x–2)² +3 

Resolución

Según la gráfica se tiene que: 

f(x)=a(x–1)²+3 

para x=0 , y=5, se tiene: 

a+3=5 → a=2 

Luego, la ecuación es 

f(x)=y=2(x–1)²+3 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 11

Halla la ecuación del semiplano que pasa por el origen y que se limita con la recta (sin tocarla) que pasa por los puntos (1;3) y (4;2) 

A) 3y–x > 10 

B) x+3y > 10 

C) –3y+x < 10 

D) x+3y < 10 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 12

El ingreso de cierta empresa está dado por: 

I(x)= – x²+80x+650 , según ello calcula el máximo ingreso. 

A) 2250 

B) 2350 

C) 2025 

D) 1850 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 13

Siendo: 

2<|x|<7 ∧ 1<|y|<5

Calcula el menor valor de la suma x+y 

Si: x, y ∈ℤ 

A) –10 

B) 10 

C) –5 

D) 5 

Resolución

De las desigualdades se tiene: 

2<|x|<7 ↔ –7<x<–2 ∨ 2<x<7 

1<|y|<5 ↔ –5<y<–1 ∨ 1<y<5 

El mínimo valor de “x+y” se tiene cuando: 

x=-6 ∧ y=-4 → x+y= –10

Rpta. : "A"

PREGUNTA 14

Forme la ecuación cuadrática de raíces 0 y 4. 

A) x²+4x = 0 

B) x²= 16 

C) x² – 4x = 0 

D) x²= 4 

Resolución

Aplicando la propiedad de la formación de una ecuación cuadrática  a partir de sus raíces :

x²– (0+4)x+(0).(4)=0 

⇒ x²– 4x=0 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 15

Si la solución de la ecuación 

es “m”, halle el valor de 6m+5. 

A) 1 

B) 2 

C) 3 

D) 4 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 16

Si – 3 < x < 5, halle el intervalo de variación de la expresión 

A) 〈0;2/3〉 

B) 〈–2/3;0〉 

C) 〈2/3;3/2〉 

D) 〈– 3;2/3〉 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 17

Siendo F una función lineal tal que (1;2) y (4;6) son coordenadas que pertenecen a la función F y G(x)=– 2x+3, calcule la suma de las pendientes de las funciones lineales F y G. 

A) – 1/3 

B) – 2/3 

C) 1/5 

D) 1/3 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 18

Si yo tuviera 27 años menos, el tiempo que pasaría despierto sería la quinta parte del que permanecería dormido si tuviera 27 años más. Si duerme 8 horas diarias, halle la edad que tenía hace 12 años. 

A) 18 

B) 19 

C) 20 

D) 21 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 19

Halle el rango de la siguiente función cuadrática: 

A) [– 3 ; 0 ]

B) [– 19/2 ; 3 ] 

C) [– 3 ; 19/2 ]

D) [ 0 ; 19/2 ]

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 20

Dada la inecuación: 

x² – k.x + 9 < 0 

Si su conjunto solución es: 〈1;9〉 , indique el valor de "k". 

A) 9 

B) 12 

C) 10 

D) 13 

Resolución

Del conjunto solución: 〈1;9〉

1+9= – (– k) ⇒  k=10 

Rpta. : "C"

PREGUNTA 21 

En cierta región marítima, la profundidad y la presión establecen una relación lineal. Se observa lo siguiente: al nivel de la superficie, la presión es de 15 libras/pie², mientras que a 33 pies de profundidad, la presión aumenta a 30 libras/pie². ¿A qué profundidad se deberá descender para que la presión llegue a 40 libras/pie²? 

A) 40 pies 

B) 45 pies 

C) 50 pies 

D) 55 pies 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 22

El precio de costo de "x" artículos es P_c=5x+2000. Si el precio de venta para cada artículo es 10 soles, halle la cantidad de artículos que se deben producir para no obtener ganancia ni pérdida. 

A) 400 

B) 1000 

C) 600 

D) 1200 

Resolución

Para no obtener ganancia ni pérdida: 

P_v=P_c 

⇒ 10x=5x+2000 

⇒ x=400

Rpta. : "A"

PREGUNTA 23

Dado un polinomio P(x) de tercer grado con coeficientes enteros, tal que al dividir 

P(x)÷(x – b) se obtiene el siguiente esquema.

Calcule el valor de abc. 

A) – 18 

B) – 15 

C) – 12 

D) – 9 

Resolución

Completando el esquema:

 

Se plantea: 

– 6+b=c ∧ – b+bc=– 12 ∧ – 5+ab=1 

• – b+b(b – 6)=– 12 

⇒ b² – 7b+12=0 

⇒ (b – 4)(b – 3)=0 

⇒ b=3 ∨ b=4 

• Si b=3 

→ c=– 6+3=– 3 

→ – 5+a(3)=1 a=2 

• Si b=4 

→ c=– 6+4=– 2 

→ – 5+a(4)=1 

⇒ a=3/2 

(debe ser entero) 

Entonces: a=2; b=3; c=– 3 

Finalmente: abc=– 18 

Rpta. : "A"

PREGUNTA 24

Dada la función: 

Siendo "F" inyectiva, halle el valor máximo de "m" si x∈[–2 ; m ] 

A) 0,25 

B) – 0,025 

C) 0,5 

D) – 0,5 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 25

Dadas las funciones: 

Halle la semisuma de las coordenadas del punto de intersección de f(x) y la inversa de g(x). 

A) 10 

B) 12 

C) 14 

D) 16 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 26

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 27

¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a una función inyectiva? 

I. A cada sector le corresponde una determinada área. 

II. A cada peruano le corresponde un número de DNI. 

III. A cada auto le corresponde un cierto kilometraje. 

IV. A cada artefacto eléctrico le corresponde un tiempo de vida. 

A) I 

B) II 

C) III 

D) IV 

Resolución

Cada peruano tiene un único número de DNI.

Rpta. : "B"

PREGUNTA 28

Luego de resolver el sistema de variables “x” e “y”: 

3x+8y=41 ... (I)

x+6y=27   ... (II)

Halla el valor de xy. 

A) 6 

B) 12 

C) 8 

D) 15 

Resolución

Sistema de ecuaciones lineales 

Multiplicando por 3 a la ecuación (II) , para luego restar miembro a miembro : 

3x+8y=41  ... (I)

3x+18y=81 ... (III)

⇒ 10y=40 

⇒ y=4 

Luego, reemplazando en la ecuación (II): 

x+6(4)=27 

⇒ x+24=27 

⇒ x=3 

Finalmente, se pide xy=(3)(4)=12 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 29

En el sistema

x/2 + y/3 =5

x – y=1 

Si x=a ∧ y=b

Determina el valor de a/b

A) 1 

B) 5 

C) 32/27 

D) 27/32 

Resolución

Rpta. : "C"

PREGUNTA 30

En la ecuación: 

(x + 1)².(x + 3)=2.(x + 1).(x + 2)² 

Indique la cantidad de valores reales que verifican: 

A) 0 

B) 1 

C) 2 

D) 3 

Resolución

Ecuaciones de grado superior 

De la ecuación: 2.(x + 1).(x + 2)²– (x + 1)².(x + 3) = 0 

Factorizando: (x + 1).(x²+ 4x + 5) = 0 

La solución real es: CS = {–1}

Luego la cantidad de valores reales que verifican es: 1 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 31

Dada la ecuación cuadrática: 

(b – c).x²+ (a – c).x + a + b + c = 0 

Halle la suma de raíces; si a ; b y c, en ese orden están en progresión aritmética. 

A) –2 

B) –1 

C) 1 

D) 2 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 32

Resolver:

x²> 25          ... (I)

(x – 1)² ≤ 49  ... (II)

A) [– 6;– 5 [ ∪ ] 5 ; 8]

B) [– 8;– 5 [ ∪ ] 5 ;6]

C) [– 6;– 4 [ ∪ ] 5 ; 8]

D) [– 8;– 5 [ ∪ ] 5 ; 8]

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 33

Determina el conjunto solución de 

3x < 24+x < 2x+12 

A) Todos los reales 

B) {12} 

C) Solo los reales positivos 

D) ø 

Resolución

Sistemas de inecuaciones lineales 

El sistema es equivalente a 

3x < 24+x ∧ 24+x < 2x+12 

⇒ 2x < 24 ∧ 12 < x 

⇒ x < 12 ∧ x < 12 

⇒ x∈∅ 

Rpta. : "D"

PREGUNTA 34

Sea f una función lineal de modo que:

f(1)=2 

f(2)=7

Calcula el valor de “a” si f(a)=32

A) 3 

B) 5 

C) 7 

D) 9 

Resolución

Sea la función lineal 

f(x)=mx+b ; m≠0 

Se tiene: 

f(1)=2⇒ m+b=2 

f(2)=7⇒ 2m+b=7

Restando miembro a miembro :

m=5 ∧ b=– 3 

Luego, f(x)=5x – 3 

Se pide “a”, donde: 

f(a)=32 

⇒ 5a – 3=32 

⇒ 5a=35 

⇒ a=7

Rpta. : "C"

PREGUNTA 35

La presión, en pascal (Pa), que experimenta un buzo varía linealmente respecto a la profundidad a la cual se sumerge. Si se sabe que la presión al nivel del mar es de 15 Pa y que luego de sumergirse 33 pies, la presión experimentada es de 30 Pa. Halla la profundidad para la cual la presión es de 40 Pa. 

A) 45 

B) 55 

C) 65 

D) 75 

Resolución

Función lineal 

Sea la función lineal 

f(x)=ax+b ; a≠0 

Donde “x” representa la profundidad, en pies. 

Luego, se tiene: 

f(0)=15 ⇒ a(0)+b=15 

 ⇒ b=15 

f(33)=30 ⇒ 33a+b=30

 ⇒ b=15 

33a+15=30 

 ⇒ 33a=15 

 ⇒ a=5/11 

Entonces: f(x)= 5x/11 + 15 

Se pide “h”, tal que 

f(n)=40 

 ⇒ 5h/11+15=40

 ⇒ 5h/11=25

 ⇒ h=55 pies 

Rpta. : "B"

PREGUNTA 36

Se conoce que la suma y el producto de las abscisas de los puntos de corte de la gráfica de la función 

f(x)=2x²+hx+2k, con el eje de las abscisas es 3 y 4, respectivamente. 

Da como respuesta el valor de h+k. 

A) – 2 

B) – 3 

C) 1 

D) 2 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 37

Determina el valor de “x” en la ecuación 

logx+log2x=log(9x+5) 

A) 1/2 

B) 5 

C) 1 

D) 4 

Resolución

Ecuaciones logarítmicas 

Restricción por definición: x>0 

Luego, por teorema: 

logx+log2x=log(x.2x) 

Reemplazando: 

log(2x²)=log(9x+5) 

2x²=9x+5

Debido a la restricción: x=5

Rpta. : "B"

PREGUNTA 38

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 39

Si: xy=z 

Simplifique la expresión: 

A) 2 

B) x 

C) z 

D) 1 

Resolución

Rpta. : "D"

PREGUNTA 40

Dé como respuesta la expresión que al racionalizarla se obtiene: 

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 41

Resolución

Rpta. : "A"

PREGUNTA 42

Grafica f(x)=2 – 0,4.x 

Resolución

Rpta. : "B"

PREGUNTA 43

Calcular la suma de valores de ''x'' en la ecuación: 

A) 5 

B) 6 

C) 7 

D) 8 

Resolución

Rpta. : "C"